Acerca de los elementos de un subgrupo finito de $\mathrm{GL}(\mathbb{R}^{n})$

Question

Deje $G$ ser un subgrupo finito de $\mathrm{GL}(\mathbb{R}^{n})$. Me gustaría probar que para cada $g \in G$, $\det(g) \in \lbrace -1,1 \rbrace$.

Aquí están mis ideas : desde $G$ es un subgrupo finito de $\mathrm{GL}(\mathbb{R}^{n})$, los elementos de $G$ satisfacer: $X^{e} - \mathrm{Id} = 0$ ( $e \in \mathbb{N}^{\ast}$ ). Por lo tanto, los valores de los elementos de $G$ son raíces de la unidad en la $\mathbb{C}$. Para un elemento dado $g \in G$, podemos también tenga en cuenta que si $\lambda \in \mathbb{C}$ es un autovalor de a$g$, $\overline{\lambda}$ también es un autovalor de a $g$. Por lo tanto, el determinante de a $g$ será $-1$ o $1$. Es esto correcto ?

Answer 1

La idea es correcta. Pero la implementación es demasiado complicado, en mi opinión. El grupo es finito así que para $g \in G$ hay algo de $e$ tal que $g^e = I_n$ como usted dijo. Por lo $\det(g^e)=\det(I_n)=1$.

Sin embargo, $\det(g^e)= \det(g)^e$. Por eso, $\det(g)$ es una raíz de la unidad y como determinante de una verdadera matriz es real. Así, es $\pm 1$.

Answer 2

Me gustaría mostrar un poco más simple prueba, sin necesidad de utilizar valores propios de la teoría y esas cosas.

Desde $\det$ es un grupo homomorphism $\det : \mathrm{GL}(\mathbb{R}^{n}) \to \mathbb{R}^{\times}$ (el codominio de ser el grupo multiplicativo de reales) la imagen de $G$ bajo $\det$ debe ser un subgrupo finito de $\mathbb{R}^{\times}$. En $\mathbb{R}$ sólo dos elementos generan finito subgrupos: 1 y -1, por lo que sólo tiene dos subgrupos finitos: $\{1\}$ (trivial) y $\{1, -1\}$ (isomorfo al grupo cíclico en dos elementos). Así, la imagen de $G$ bajo $\det$ debe ser uno de esos dos grupos, lo que significa que $\det$ tiene sólo 1 y -1 como sus valores.