secuencia $\{a^{p^{n}}\}$ converge en los números p-ádicos.

Question

Dejemos que $a\in \mathbb{Z}$ ser relativamente primo de $p$ primo. Entonces demuestre que la secuencia $\{a^{p^{n}}\}$ converge en el $p$ - los números de la época.

Esto me parece muy poco intuitivo. Ya que $(a,p)=1$ la norma siempre será $1$ . Realmente no tengo ni idea de qué hacer con $|a^{p^{n}}-a^{p^{m}}|$ La factorización no me da nada y no podemos usar la propiedad no archimediana porque tienen la misma norma. Cualquier pista o idea sería genial. Gracias.

Answer 1

Recordemos que la función totiente de Euler tiene valores $\phi(p^n)=p^{n-1}(p-1)=p^n-p^{n-1}$ para todos $n$ . Esto significa que para todos los $a$ coprima a $p$ tenemos la congruencia $$ a^{p^n}\equiv a^{p^{n-1}}\pmod{p^n}. $$ Al elevar esa congruencia al poder $p^{m-n}$ una inducción directa sobre $m$ demuestra que $$ a^{p^m}\equiv a^{p^{n-1}}\pmod{p^n} $$ para todos $m\ge n$ . Esto es válido para todos los $n$ lo que implica que la secuencia es Cauchy y, por tanto, convergente respecto a la $p$ -Métrico.