Diferencia de uso entre $d$ , $\partial$ , $\operatorname d$ , $\varDelta$ y $D$ para los derivados.

Question

Mientras leía diferentes fuentes sobre la diferenciación implícita (y a partir de ahí la diferenciación en general), me encontré con muchas "d" diferentes que se utilizan para (o son similares a) la conocida $$\frac{dy}{dx}$$ La variante $d$ aparece en la mayoría de los casos, y también con las integrales:

$$\int x~dx$$

Ahora, parece que la convención en Wikipedia es usar $d$ o $\operatorname d$ para "normal" y $\partial$ para los derivados parciales (que también es su nombre en Tex). ¿Hay alguna diferencia adicional entre $d$ y $\operatorname d$ (excepto la cantidad de caracteres necesarios), y ¿hay alguna convención general?

Answer 1

Considero que $d$ y $\rm d$ como el mismo. En general, lo veo así:

• Si $f: \Bbb R \to \Bbb R$ El derivado en $x$ es $f'(x)$ o $\frac{{\rm d}f}{{\rm d}x}(x)$ ;
• Si $f: \Bbb R^n \to \Bbb R$ El $k-$ th derivada parcial en $x$ es $\frac{\partial f}{\partial x^k}(x)$ o $D_kf(x)$ o $D_{x^k}f(x)$ o $\partial_kf(x)$ o $\partial_{x^k}f(x)$ ;
• Si $f: \Bbb R^n \to \Bbb R^m$ El derivado total (derivado de Fréchet, si le gusta) en $x$ es $Df(x)$ . En particular, podemos llamar a la derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial x^k}(x)$ , que será un vector cuyas componentes son las derivadas parciales de los componentes, siguiendo el punto anterior. Si $f: \Bbb R^n \times \Bbb R^m \to \Bbb R^k$ también podemos utilizar $D_xf(x,y)$ y $D_yf(x,y)$ para denotar bloques de $Df(x,y)$ . Esto es útil a veces cuando se hacen cosas con los teoremas de la función inversa/implícita.
• Si $f: \Bbb R^n \to \Bbb R^m$ El diferencial de $f$ en $x$ es el mapa ${\rm d}f_x: T_x\Bbb R^n \to T_{f(x)}\Bbb R^m$ dado por ${\rm d}f_x(v_x) = (Df(x)(v))_{f(x)}$ . Algunas personas escriben ${\rm d}_xf$ en lugar de ${\rm d}f_x$ .
• Le site derivado exterior de $k$ -forma $\omega$ se denota simplemente por ${\rm d}\omega$ .

Answer 2

• $D_x$ es lo mismo que $\frac{d}{dx}$ Es una forma diferente de la notación inventada por Euler. La capital $D$ por supuesto significa derivada, y la derivada es con respecto a la "base" de $D$ por ejemplo $D_t$ es derivado con respecto a $t$ .

• $\frac{\partial}{\partial x}$ es un derivada parcial utilizado en cálculo multivariable. En este caso, es con respecto a $x$ por lo que otras variables desconocidas, además de $x$ se fijaría de forma constante.

• $\frac{\text{d}}{\text{d}x}$ tampoco es diferente de $\frac{d}{dx}$ . Tanto d como $d$ son las mismas letras y no sé por qué inclinadas $d$ se diferenciaría en algo de la d normal. También se utiliza en las integrales, como has dicho como d $x$ o $dx$ que es el forma diferencial y está ahí para que sepas con respecto a qué variable, debes integrar.

• $\Delta x$ notas cambio en $x$ que se utiliza en la definición de la derivada de un punto. La definición de derivada es: $$\lim_{\Delta x\to 0}f'(x)=\frac{f(x+ \Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$ donde, como dije $\Delta x$ es el cambio en $x$ que en el cálculo de las derivadas, se acerca a $0$ .