Por qué $\log \rho$ en la ecuación de continuidad?

Question

Acabo de ver la ecuación de continuidad, en un manuscrito, escrito como $$\frac{\partial \log \rho }{\partial t} + \vec v \cdot \nabla \log \rho= - \nabla \cdot \vec v.$$ Ahora, sólo el cálculo de los derivados de la $\log$, y multiplicando por $\rho$, esto vuelve a la familiar $$\frac{\partial \rho }{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec v)= 0.$$ Pero tengo curiosidad: ¿cuál sería la razón para escribir en el registro de forma?

El registro de forma también aparece en la página 53 (pdf página 69) en este manual. Y la página 2 aquí se explica acerca de la misma como tpg2114 la respuesta.

Answer 1

I) La primera ecuación en la pregunta(v1) muestra que el material derivado de $\ln\rho $ satisface

$$ \frac{D \ln\rho }{D t} ~=~ - \nabla \cdot \vec v. $$

En particular, en un fluido incompresible, el campo de velocidad es la divergencia libre $$\nabla \cdot \vec v~=~0.$$

¿Por qué la variable $\ln\rho$ frente al $\rho$?

II), además De tpg2114 es correcto el argumento de que la densidad puede variar a lo largo de varias décadas, también existe el argumento de que en los cálculos numéricos, es preferible trabajar con una variable real $\ln\rho\in \mathbb{R}$ (frente a un caso positivo de la variable $\rho>0$), debido a que si se utiliza $\rho$ como una variable en un código de computadora, a continuación, los pequeños errores numéricos puede accidentalmente conspira para producir un defecto de la negativa de la densidad de $\rho<0$, mientras se trabaja con la variable $\ln\rho$ en un código de computadora automáticamente la garantía de un manifiestamente de densidad positiva.

Answer 2

Sin ver el manuscrito en cuestión, la razón más obvia ¿por qué cuando es extremadamente amplios rangos de densidad que se espera. Si la densidad varía en órdenes de magnitud, digamos en un astrofísica de configuración, a continuación, el registro de forma de mantener los números en la escala similar, lo que es numéricamente más manejable.

Similar tratamiento se realiza para el parcial de la densidad de ecuaciones en reaccionar químicamente flujos.

Answer 3

Además de los dos grandes respuestas de arriba, hay uno más en el contexto que he encontrado en el que el registro de la representación es útil.

A menudo en la auto-problemas similares, algunas soluciones analíticas pueden ser obtenidos por adivinar una solución que tiene la forma de una ley de potencia en algunos auto-similar de la variable. El registro de la representación hace posible manipular las ecuaciones con facilidad, lo que permite a uno encontrar los exponentes y por lo tanto la solución.

Si usted está interesado, echa un vistazo a los siguientes, http://en.wikipedia.org/wiki/Similarity_solution Hay varias soluciones analíticas para el caso del punto de explosión con perfil de densidad $\rho=\kappa r^{-\omega}$ para valores específicos de $\omega$ (no se Puede encontrar la referencia a los libros de texto se muestra en, lo siento)