Dejemos que $R\subset R'$ sea una extensión de dominios integrales. Entonces tenemos un mapa de inclusión $i:R\hookrightarrow R'$ . Sea $\mathfrak{p}\subset R$ sea un ideal primo. Sabemos que $\mathfrak{p}^e$ (generado por la imagen de $\mathfrak{p}$ en $i$ ) no necesita ser un ideal primo. ¿Pero es siempre un ideal radical? ¿Prueba o contraejemplo?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
No. Si se acepta la caracterización de los ideales radicales en los dominios de Dedekind proporcionados aquí y están familiarizados con algo de teoría algebraica de números, entonces hay una plétora de contraejemplos. Más concretamente, dada una extensión de campos numéricos $K/k$ , dejemos que $\mathfrak{O}$ y $\mathfrak{o}$ denotan los anillos de enteros de $K$ y $k$ respectivamente. Entonces, si $\mathfrak{p}$ es un ideal en $\mathfrak{o}$ el ideal $\mathfrak{p}\mathfrak{O}$ en el anillo de enteros de $K$ que se encuentra encima de $\mathfrak{p}$ factores en un producto
$$ \mathfrak{p}\mathfrak{O} = \prod_{i=1}^n \mathfrak{P}_i^{e_i} $$ donde $\mathfrak{P}_i$ es un primo en $\mathfrak{O}$ y $e_i \geq 0$ para todos $i$ y puede ocurrir que $e_i \geq 2$ para cualquier número de $i$ 's. Cuando $e_i \geq 2$ para algunos $i$ el primer $\mathfrak{p}$ se dice que ramificar en $\mathfrak{O}$ y el concepto ha sido ampliamente estudiado.
Como ejemplo sencillo, tomemos $k = \mathbb{Q}$ y $K = \mathbb{Q}(i)$ para que $\mathfrak{o} = \mathbb{Z}$ y $\mathfrak{O} = \mathbb{Z}[i]$ . Entonces $\mathbb{p} = (2)$ es primo en $\mathbb{Z}$ pero se deduce de la factorización $2 = (1+i)(1-i)$ de $2$ en $\mathbb{Z}[i]$ que
$$ (2) = (1+i)(1-i) = (1+i)^2 $$
en $\mathbb{Z}[i]$ . Nótese que este ideal no contiene $1+i$ .
Alex
Puntos
36
No siempre es radical. Consideremos el ideal primo $(x) \subseteq k[x]$ y la inclusión de dominios $k[x] \subseteq k[x,y]/(y^2 - x)$ . Observe que $k[x,y]/(y^2 - x)$ es un dominio, ya que $y^2 - x$ es un polinomio irreducible. Sin embargo, la extensión de $(x)$ no es radical, ya que $y^2 \in (x)^e$ pero $y \not \in (x)^e$ .
