Monotono teorema de convergencia en $\ln(2)$ total?

Question

Dado $\frac{1}{1+x}=\sum^{\infty}_{k=0}(1-x)x^{2k}$ $x\in[0,1)$ I se aplicará la "monotonía teorema de convergencia' $[0,1)$ para el cálculo de $\sum^{\infty}_{k=1}\frac{(-1)^{k+1}}{k}$.

En Wikipedia se dice que $\sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{n^k}\binom{n}{k}=(1+\frac{1}{n})^n$ y no sé cómo se aplica este teorema :/ Tal vez alguien me puede explicar con el ejemplo de la Wikipedia :)

Sé que $\int_0^1\frac{1}{1+x}dx=[ln(x)]_0^1$, pero no sé cómo poner esto en relación con la segunda suma ? Gracias de antemano.

Answer 1

Tenga en cuenta que podemos escribir

$$\begin{align} \int_0^1 \sum_{k=0}^\infty (1-x)x^{2k}\,dx&=\int_0^1\lim_{K\to \infty} \left(\frac{1-x^{2K+2}}{1+x}\right)\,dx\\\\ &\overbrace{=}^{\text{MCT}}\lim_{K\to \infty} \int_0^1\left(\frac{1-x^{2K+2}}{1+x}\right)\,dx\\\\ &=\sum_{k=0}^\infty \int_0^1 (1-x)x^{2k}\,dx \\\\ &=\sum_{k=0}^\infty \left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+2}\right)\\\\ &=\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k} \end{align}$$