Cómo solucionar $\sin78^\circ-\sin66^\circ-\sin42^\circ+\sin6^\circ$

Question

Pregunta: $ \sin78^\circ-\sin66^\circ-\sin42^\circ+\sin6° $

He resuelto parcialmente este:-

$$ \sin78^\circ-\sin42^\circ +\sin6^\circ-\sin66^\circ $$

$$ 2\cos\left(\frac{78^\circ+42^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{78^\circ-42^\circ}{2}\right) + 2\cos\left(\frac{6^\circ+66^\circ}{2}\right)\sin\left(\frac{6^\circ-66^\circ}{2}\right) $$

$$ 2\cos(60^\circ)\sin(18^\circ) + 2\cos(36^\circ)\sin(-30^\circ) $$

$$ 2\frac{1}{2}\sin(18^\circ) - 2\cos(36^\circ)\cdot\frac{1}{2} $$

$$ \sin(18^\circ) - \cos(36^\circ) $$

En este punto tuve que usar una calculadora. ¿Alguien sabe una manera de resolverlo sin una calculadora.Gracias de antemano.

Answer 1

Los ángulos que son varios de $18$ grados se producen en el pentágono regular con sus diagonales y sus razones trigonométricas están relacionados con la proporción áurea.

Para encontrarlos, tomar un triángulo isósceles con ángulos $A=36$ $B=C=72$ grados. Trazar la bisectriz de $B$ que se cruza con $AC$ en un punto de $D$. Tenga en cuenta que los triángulos $ABC$ $BCD$ son similares. Ahora vamos a $1=AB$, $x=AD$. Nota ahora que $ABD$ también es isósceles,$AD=BD=BC=x$. La mencionada similitud de los rendimientos $$\frac1x=\frac x{1-x}$$ que es precisamente la ecuación que define la proporción áurea.

Para encontrar $\cos 36^\circ$ sorteo de la altura del triángulo $ABD$$D$, que divide en dos el lado a $AB$. Entonces $$\cos 36^\circ=\frac{1/2}{x}$$

Ahora, con la clásica identidades trigonométricas, usted puede encontrar fácilmente cerrado expresiones para el seno y el coseno de $18$, $36$, $54$ y $72$ grados. Para el ángulo de $18$ grados, no usar la mitad de ángulo fórmulas, pero $$\sin 18^\circ=\sin(90^\circ-72^\circ)=\cos 72^\circ=\cos^2 36^\circ-\sin^2 36^\circ$$

Comentario: tal vez usted está vagando por lo que el pentágono tenía que ver con todo esto. Si usted elige un vértice $A$ de un pentágono regular y el sorteo de las dos diagonales $AB$ $AC$ a partir de ella, el triángulo $ABC$ es similar a la que acabamos de utilizar.

Answer 2

No es rápido, pero strightforward manera. $18^\circ = \pi/10$; deje $s=\sin{(\pi/10)}$, por tanto, se deben evaluar $$ a=\sin\frac\pi{10}-\cos\frac{\pi}{5}=2s^2 + s - 1. $$ Podemos expresar $\sin5x$ en términos de $\sin x$: $$ \sin5x=16\sin^5 x 20\sin^3 x + 5\sin x $$ (es decir, de $\sin5x=\sin(4x + x), \sin4x=2\sin2x\cos2x$, o por de Moivre). Para $x=\frac{\pi}{10}$ tenemos $\sin5x=1$: $$ 16^5 - 20^3 + 5s -1 =0, $$ o $$ (s-1)(-1+2+4^2)^2 = 0; $$ Así, $$ 4s^2 + 2s - 1= 0=2a+1 \Longrightarrow a = -\frac12 $$ es la respuesta.

Answer 3

Usted ha hecho su pregunta ya. Tenga en cuenta que$sin18^\circ=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$$cos36^\circ=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$.Si había hecho varias ángulos en la trigonometría se puede calcular fácilmente estos.

Para $sin18^\circ$ vamos, $A=18^\circ$. A continuación, $5A=90^\circ$

$2A=90^\circ-3A$

$Sin2A=cos3A$. El uso de $Sin2A=2sinAcosA$ $Cos3A=4cos^3A-3CosA.$

Answer 4

$\sin(5\cdot78^\circ)=\sin(360^\circ+30^\circ)=\sin30^\circ$

$\sin\{5(-66^\circ)\}=\sin(-360^\circ+30^\circ)=\sin30^\circ$

Si $\sin5x=\sin30^\circ\implies5x=n180^\circ+(-1)^n30^\circ$ donde $n$ es cualquier entero

$\implies x=n72^\circ+6^\circ$ donde $n\equiv-2,-1,0,1,2\pmod5$

De nuevo, $\sin5x=16\sin^5x-20\sin^3x+5\sin x$

Así, las raíces de $\displaystyle16\sin^5x-20\sin^3x+5\sin x=\dfrac12$ $\sin\left(n72^\circ+6^\circ\right)$ donde $n\equiv-2,-1,0,1,2\pmod5$

El uso de Vieta de la fórmula, $\displaystyle\sum_{n=-2}^2\sin\left(n72^\circ+6^\circ\right)=0$

$n=-2\implies$ $-2\cdot72^\circ+6^\circ=-138^\circ\implies\sin(-138^\circ)=-\sin(138^\circ)=-\sin(180^\circ-42^\circ)=-\sin42^\circ$

$n=-1\implies$ $-1\cdot72^\circ+6^\circ=-66^\circ\implies\sin(-66^\circ)=-\sin66^\circ$

$n=0\implies ?$

$n=1\implies ?$

y $n=2\implies\sin\left(2\cdot72^\circ+6^\circ\right)=\sin150^\circ=\dfrac12$

¿Ves el destino?

Answer 5

Como $\sin(-A)=-\sin A,\sin(180^\circ-B)=\sin B$

$S=\sin78^\circ-\sin66^\circ-\sin42^\circ+\sin6^\circ $

$=\sin(-138^\circ)+\sin(-66^\circ)+\sin6°+\sin78^\circ $

Observar que los ángulos están en Progresión Aritmética con diferencia común $=72^\circ$

El uso de ¿Cómo podemos resumir $\sin$ $\cos$ serie cuando los ángulos están en progresión aritmética?

y Werner Fórmula: $2\sin A\sin B=\cos(A-B)-\cos(A+B),$

y por último Prosthaphaeresis Fórmula, $\cos C+\cos D=2\cos\dfrac{C+D}2\cos\dfrac{C-D}2$

$2\sin36^\circ\cdot S=-2\cos54^\circ\cos60^\circ\implies S=-\dfrac12$