Wasserstein distancia en $\mathbb{R}$

Question

Tengo el siguiente problema.

Dada la Wasserstein distancia, definido por $W_1(\mu,\nu)=\inf\limits_{\pi\in\Pi(\mu,\nu)}\int\limits_{\mathbb{R}^2}|x-y|d\pi(x,y)$,

cual $\mu$ $\nu$ de probabilidad de medidas en el Borel $\sigma$-álgebra en $\mathbb{R}$ $\Pi(\mu,\nu)$ es el conjunto de todos los acoplamientos de $(\mu,\nu)$.

También sé que

$W_1(\mu,\nu) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}|F(x)-G(x)|dx$

para las funciones de distribución de $F$$G$$\mu$$\nu$, (me.e $F(x)=\mu((-\infty,x])$).

Ahora quiero demostrar que

$W_1(\mu,\nu)=\int\limits_{0}^{1}|F^{-1}(z)-G^{-1}(z)|dz.$

Aquí podemos definir $F^{-1}(z):=\inf\lbrace{}x\in\mathbb{R};F(x)\geq{}z\rbrace$

No sé bien cómo abordaje de este problema y estaría muy agradecido por cualquier consejo. Gracias

Answer 1

Ambas integrales son iguales para el área entre las gráficas de $F$$G$, es decir, del conjunto de $$\{(x,z)\in \mathbb R^2: F(x)\wedge G(x)\leq z\leq F(x)\lor G(x)\}$$ donde $\wedge$ $\lor$ indican el mínimo y el máximo de entre $F$$G$. La primera vez que integrar en $dx$ la altura de las secciones verticales, la segunda integrar en $dz$ el ancho de las secciones horizontales.

Usted necesidad de utilizar el monotonocity de ambos $F$ $G$ y tal vez el hecho de que una monotonía de la función en $\mathbb R$ puede tener en la mayoría de countably muchos saltos y los valores de tomarse más de una vez.