Refutar una afirmación sobre la trayectoria-conectado Hausdorff espacios que son de una infinita unión de un ascendente de la cadena de subconjuntos compactos

Question

Estoy tratando de refutar la siguiente:

Deje $X$ ser una ruta conectada espacio de Hausdorff, que tiene una secuencia de subconjuntos compactos

$$K_1\subseteq K_2\subseteq K_3\subseteq \cdots$$

tal que $X=\bigcup_{n\geq 1} K_n$. Asumir un subconjunto $C$ es cerrado si y sólo si $C\cap K_n$ es compacto para todas las $n$.

Reclamo: Todo subconjunto compacto $C\subseteq X$ está contenido en $K_n$ algunos $n$.

Pregunta: Es esto falso?

Creí $X=[0,1]$ $K_n=[0,1-\frac{1}{n+1}]$ fue un contraejemplo, pero no lo es. Los pensamientos?

Nota: esta no es la tarea, al menos no en la mía de todos modos. La encontré mientras buscaba a través de la topología vieja problema hojas.

Answer 1

Su ejemplo no es un contraejemplo, porque la unión de los conjuntos a$K_n$$[0,1)$, no $[0,1]$.

Agregó: he Aquí una prueba del resultado.

Supongamos que $X$ es Hausdorff, $X=\bigcup_{n\ge 1}K_n$, donde cada una de las $K_n$ es compacto, $K_n\subseteq K_{n+1}$ por cada $n\in\Bbb Z^+$, e $C\subseteq X$ es cerrado iff $C\cap K_n$ es compacto para todas las $n\in\Bbb Z^+$.

Deje $C$ ser un subconjunto compacto de $X$. Supongamos que $C$ no está contenida en ninguna de las $K_n$; a continuación, $C\setminus K_n\ne\varnothing$ por cada $n\in\Bbb Z^+$. Pick $x_1\in C\setminus K_1$; $x_1\in X$, por lo $x\in K_{n_1}$ algunos $n_1\in\Bbb Z^+$. Pick $x_2\in C\setminus K_{n_1}$; a continuación, $x_2\in K_{n_2}$ algunos $n_2\in\Bbb Z^+$. Continuar de esta manera, de forma recursiva la construcción de una secuencia $\langle n_k:k\in\Bbb Z^+\rangle$ de los enteros positivos y una secuencia $\langle x_k:k\in\Bbb Z^+\rangle$ de los puntos de $C$ de tal manera que $x_k\in K_{n_k}$$k\ge 1$$x_k\in C\setminus K_{n_{k-1}}$$k\ge 2$.

Deje $A=\{x_k:k\in\Bbb Z^+\}$; a continuación, $A\cap K_m$ es finito para cada una de las $m\in\Bbb Z^+$. De hecho, para cualquier $m\in\Bbb Z^+$ no es un porcentaje ($k\in\Bbb Z^+$tal que $n_k\ge m$, y por lo tanto $x_i\notin K_{n_k}\supseteq K_m$$i>k$. Finito de conjuntos son compactos, por lo $A\cap K_n$ es compacto para cada una de las $n\in\Bbb Z^+$, y por hipótesis de $A$ es cerrado en $X$. Deje $S$ ser cualquier subconjunto de a $A$; a continuación, $S\cap K_n$ es finito y por lo tanto compacto para cada una de las $n\in\Bbb Z^*$, lo $S$ también está cerrado en $X$. Por lo tanto, cada subconjunto de $A$ es cerrado. De ello se deduce inmediatamente que cada subconjunto de $A$ está abierto en $A$ (como un subespacio de $X$), es decir, que $A$ es un infinito cerrado discretos subconjunto de $X$. Pero, a continuación, $\big\{\{a\}:a\in A\big\}$ es relativamente abierto de la cubierta de $A$ sin finito subcover, contradiciendo la compacidad de $A$. De ello se sigue que el conjunto compacto $C$ debe haber sido incluida en uno de los conjuntos $K_n$. $\dashv$

Answer 2

La afirmación es verdadera. Para ver esto, vamos a $C\subseteq X$. Supongamos que no hay $n\in\mathbb N$ tal que $C\subseteq K_n$. A continuación, podemos elegir para cada una de las $n\in\mathbb N$ elemento $x_n\in C$ tal que $x_n\notin K_n$. Los conjuntos de $U_n = C\setminus\{x_n,x_{n+1},\ldots\}$ forma una cubierta abierta de a $C$, sin finito subcover, lo que implica que $C$ no es compacto. (Tenga en cuenta que aquí hemos utilizado el supuesto de que $A\subseteq X$ es cerrado si y sólo si $A\cap K_n$ es compacto para cada una de las $n$. Esto implica que $\{x_n,x_{n+1},\ldots\}$ es cerrado en $X$ y, por tanto, en $C$.) Esto demuestra la reclamación.