Probar sin la inducción que $3^{4n}-2^{4n}$ es divisible por $65$

Question

Mi hermano me preguntó (por alguna razón).

Mi solución es:

$(3^{4n}-2^{4n})\bmod{65}=$

$(81^{n}-16^{n})\bmod{65}=$

$((81\bmod{65})^{n}-16^{n})\bmod{65}=$

$(16^{n}-16^{n})\bmod{65}=$

$0\bmod{65}$

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Creo que esta solución es matemáticamente impecable (por favor, hágamelo saber si usted piensa lo contrario).

Pero me pregunto si hay otra forma, tal vez con el binomio de expansión de $(81-16)^{n}$.

En otras palabras, algo así como:

$3^{4n}-2^{4n}=$

$81^{n}-16^{n}=$

$(81-16)^{n}+65k=$

$65^{n}+65k=$

$65(65^{n-1}+k)$

¿Cómo puedo ir desde "$81^{n}-16^{n}$""$(81-16)^{n}+65k$"?

Answer 1

Se puede utilizar la fórmula $$a^n-b^n = (a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\ldots+ab^{n-2}+b^{n-1}\right)$$

Answer 2

Usted está casi allí:

$$3^{4n}-2^{4n}=81^{n}-16^{n}=(65+16)^{n}-16^{n}=65a+16^{n}-16^{n}=65a$$

El punto clave es $(65+16)^{n}=65a+16^{n}$, que se sigue del teorema del binomio.