Decidir si o no $g$ es diferenciable en a $0$

Question

Necesito ayuda con un problema del análisis.

Definir $g:[-1,1]\to \Bbb R$ por $g(x)=(-1)^k/k^2$ para $|x|\in(1/(k+1),1/k], k=1,2,...$ e $g(0)=0$. Decidir si o no $g$ es diferenciable en a$0$ y demostrar tu respuesta.

Lo que tengo:

Cuando $k=1, |x|\in (1/2,1]$ y si $k=2,|x|\in(1/3,1/2]$ así que si $k\to \infty, |x|\in(0,0]$

Pero, ¿cómo iba yo a saber si este es derivable en cero o no?

Answer 1

Podemos buscar la derivada por definición: $$g'(0) = \lim\limits_{h\to0}\frac{g(h)-g(0)}{h} = \lim\limits_{h\to0}\frac{g(h)}{h}$$

Sin embargo, la forma en que se define la función no es muy conveniente para nosotros para encontrar el límite, porque se define en términos de un número arbitrario $k$. Es por eso que trataremos de definir la función en términos de $x$ solamente. Tenga en cuenta que la condición de $$|x| \in \left( \frac{1}{k+1}, \frac{1}{k} \right]$$ después de jugar un poco con las desigualdades (con $x\neq 0$), es equivalente a la condición de $$\frac{1}{|x|} \in [k, k+1)$$ ¿Cómo podemos expresar la función de $g(x)=(-1)^k/k^2$ en términos de $x$ sólo?

Podemos utilizar la función del suelo. Tenga en cuenta que la función de $\lfloor x \rfloor$ se define como el mayor entero no menos de $x$. Con eso en mente, es fácil ver que $k=\lfloor 1/|x| \rfloor$. Ahora la función se puede escribir como $$g(x)=\frac{(-1)^{\lfloor 1/|x| \rfloor}}{\lfloor 1/|x| \rfloor^2}$$

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Volvamos al límite. Mirando la forma de $g(h)/h$, podemos intuir que este límite es cero. Vamos a probar esto por definición. Es decir, debemos demostrar que para todos los $\epsilon>0$existe $\delta>0$ tales que $$0<|h|<\delta \implies \left|\frac{g(h)}{h}\right|<\epsilon$$

Desde $$\left\lfloor \frac{1}{|h|} \right\rfloor \geq \frac{1}{2|h|} \implies \left\lfloor \frac{1}{|h|} \right\rfloor^2 \geq \frac{1}{4h^2}$$ para todos lo suficientemente pequeño $h$ (digamos, por $|h|<\eta$), tenemos que

$$\left|\frac{g(h)}{h}\right| = \frac{1}{|h|\cdot\lfloor 1/|h| \rfloor^2} \leq \frac{4h^2}{|h|}=4|h|$$ Para que esto sea menor que $\epsilon$, es suficiente para elegir a$\delta<\min\{\epsilon/4,\eta\}$.

Por lo tanto, hemos demostrado que $$g'(0)=\lim\limits_{h \to 0} \frac{g(h)}{h}=0$$ y $g$ es diferenciable en el punto de $x=0$. $\ \ \rule{5pt}{5pt}$