La evaluación de $\int_{} \frac{xe^{2x}}{(1+2x)^2}dx$ a través de la integración por partes

Question

$\int_{} \frac{xe^{2x}}{(1+2x)^2}dx$

Estoy teniendo problemas para escoger la correcta $u/dv$ antes de la integración por partes. Me sentí como L. I. A. T. E. en realidad no me ayuda aquí...

Esto es lo que he intentado, pero terminó con la integración en espiral dentro de un sinfín de evaluación de una integral...

$$ \begin{align} u &= (1 + 2x)^2 & dv &= xe^{2x}dx \\ du &= 2(1+2x)dx & v &= \frac{1}{2}x^2 \frac{1}{2}e^{2x} \\ &= 2 + 4xdx & &= \frac{1}{4}x^2e^{2x} \end{align} $$

Soy yo, al menos, correcta en la elección de la derecha $u/du$ valores? Eso es todo lo que realmente quiero saber, si me permite elegir la $u/du$ gusta cómo lo hice

Answer 1

Sugerencia:

Deje $u=xe^{2x}$, $\text dv=\dfrac{\text dx}{(1+2x)^2}$.

Resultado: $$\dfrac{\mathrm{e}^{2x}}{8x+4} + C$$

EDIT: Más pasos.

\begin{eqnarray*} \int \frac{xe^{2x}}{(1+2x)^2} \ \text dx &=& \left|\begin{array}{2} u=xe^{2x} & \text dv=\dfrac{\text d x}{(1+2x)^2} \\ \text du = (1+2x)e^{2x}\ \text dx & v=-\dfrac{1}{2(1+2x)} \end{array}\right| = \\ &=& -\frac{xe^{2x}}{2(1+2x)} + \frac{1}{2} \int e^{2x}\ \text dx = \\ &=&-\frac{xe^{2x}}{2(1+2x)} + \frac{1}{4}e^{2x} + C = \\ &=& e^{2x}\left( -\frac{x}{2(1+2x)}+\frac{1}{4} \right) + C = \boxed{\frac{e^{2x}}{8x+4} + C} \end{eqnarray*}

Answer 2

$u=1+2x$:

$$\requieren{cancel} \int\frac{xe^{2x}}{(1+2x)^2}\,dx= \frac{1}{4}\int\frac{(1+2x-1)e^{2x+1-1}}{(1+2x)^2}\frac{d}{dx}(1+2x)\,dx=\\ \frac{1}{4}\int\frac{(u-1)e^{- u 1}}{u^2}\,du= \frac{1}{4e}\int\left(\frac{ue^{u}}{u^2}-\frac{e^{u}}{u^2}\right)\,du=\\ \frac{1}{4e}\int\left(\frac{e^{u}}{u}-\frac{e^{u}}{u^2}\right)\,du= \frac{1}{4e}\left(\int e^{u}\frac{1}{u}\,du-\int e^{u}\frac{1}{u^2}\,du\right)=\\ \frac{1}{4e}\left(\int e^{u}(\ln{u})'\,du+\int e^{u}\left(\frac{1}{u}\right)'\,du\right)=\\ \frac{1}{4e}\left(e^{u}\ln{u}-\int e^{u}\ln{u}\,du+\frac{e^u}{u}-\int e^{u}\frac{1}{u}\,du\right)=\\ \frac{1}{4e}\left(e^{u}\ln{u}-\int e^{u}\ln{u}\,du+\frac{e^u}{u}-\int e^{u}(\ln{u})'\,du\right)=\\ \frac{1}{4e}\left(\cancelar{e^{u}\ln{u}}-\cancelar{\int e^{u}\ln{u}\,du}+\frac{e^u}{u}-\cancelar{e^{u}\ln{u}}+\cancelar{\int e^{u}\ln{u}\,du}\right)=\\ \frac{1}{4e}\frac{e^u}{u}=\frac{1}{4e}\frac{e^{1+2x}}{1+2x}=\frac{e\cdot e^{2x}}{4e(1+2x)}=\frac{e^{2x}}{4+8x}+C. $$

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