¿Podría ser este problema similar a la Hipótesis de Riemann?

Question

He encontrado la siguiente equivalencia.

Para $a,b,x\in\mathbb{C}$, siempre y cuando no haya singularidades en el lado derecho:

\begin{multline}\sum _{k=2}^{\infty}\sum _{j=1}^{\infty}\frac{x^k}{(a j+b)^k}=-\frac{x^2}{2b(b-x)}+\frac{\pi x}{2a}\csc{\frac{b\pi }{a}}\csc{\frac{\pi (b-x)}{a}}\sin{\frac{\pi x}{a}}\\-\frac{x \pi}{a}\int _0^1\left(\csc{\frac{2 \pi (b-x)}{a}}\sin{\frac{2 \pi (b-x)u}{a}}-\csc{\frac{2 \pi b}{a}}\sin{\frac{2 \pi b u}{a}}\right)\cot{\pi u}\,du\end{multline}

Incluso cuando el lado izquierdo puede no converger, el lado derecho aún puede converger.

He notado que $b=1/2$ hace que la integral (la parte imaginaria para $a,b$ reales) se anule para $x=1$ y $a=-i$ (aunque la parte real no se anula).

La integral siempre se anulará para $x=2b$, así que se trata de encontrar un triple $(a,b,2b)$ que anule la otra parte.

¿Cuáles son los ceros de esta ecuación?

Answer 1

Para $|x| < |i\Im(b)+1+ \max(\Re(b),0)|$ y $b \not \in \mathbb{Z}_{\le 1}$ entonces

$$\sum_{k=2}^{\infty}\sum _{j=1}^{\infty}\frac{x^k}{( j+b)^k}=\sum _{j=1}^{\infty}\sum_{k=2}^{\infty}\frac{x^k}{( j+b)^k} = \sum_{j=1}^\infty \frac{1}{1-\frac{x}{j+b}}-1-\frac{x}{j+b}$$ $$= \sum_{j=1}^\infty \frac{x}{j+b-x}-\frac{x}{j+b}=x (\frac{\Gamma'(b+1)}{\Gamma(b+1)}-\frac{\Gamma'(b-x+1)}{\Gamma(b-x+1)})$$

Answer 2

Lo siento, esto realmente no es una respuesta a la pregunta original, pero para la demostración de la ecuación, por favor revisa mi artículo:

"Sobre los límites de una progresión armónica generalizada."

https://arxiv.org/abs/1902.06885

Todavía estoy trabajando en los casos donde la ecuación anterior no se aplica, hay una fórmula diferente en ese caso. Y creo que podría ser capaz de encontrar una fórmula similar para la función zeta, aunque es poco probable.