Sobre un Corolario de Isaacs' "carácter de la teoría de grupos finitos": no a la inversa implicación?

Question

Deje $N \lhd G$ (con $G$ finito) y deje $\chi \in \mathrm{Irr}(G)$ ser tal que $\chi_N=\theta \in \mathrm{Irr}(N)$. A continuación, los caracteres $\beta \cdot \chi$ para $\beta \in \mathrm{Irr}(G/N)$ son irreductibles, distintas para distintos $\beta$ y son todos de la irreductible a los mandantes de $\theta^G$. Este es el Corolario 6.17 de Isaacs, el carácter de la teoría de grupos finitos.
Mi pregunta es: Deje $\chi \in \mathrm{Irr}(G)$ y establezca $\mathrm{Irr}(G/N)=\{\theta_1 \dots \theta_n\}$. Supongamos que el $\{\theta_i \cdot \chi\}_{i=1}^n$ son distintos e irreductibles. Podemos concluir que $\chi_N$ es irreducible? Si sí, ¿por qué?

(Notación: con $\chi_N$ me indican que la restricción de $\chi$ a $N$ e con $\theta^G$ i indican la extensión de $\theta$ a $G$. Con $\beta \cdot \chi$, $\theta_i \cdot \chi$ i indicar el producto de los personajes)

Answer 1

Vamos a escribir e identificar las $Irr(G/N)=\{\beta \in Irr(G): N \subseteq ker(\beta)\}$. (Tenga en cuenta que usted está usando $\theta_i$ en su pregunta, pero esto es bastante confuso, ya que usted está usando $\theta$ para una irreductible carácter de $N$).

Su hipótesis es que todas las $\beta\chi$ son distintos e irreductibles.

Deje $\chi \in Irr(G)$ e $\theta \in Irr(N)$ ser una irreductible constituyente de $\chi_N$. A continuación, $\chi_N=e\sum_{i=1}^{t}\theta_i$, donde $t=|G:T|$, el índice de la inacción de los subgrupos de $\theta$ en $G$ e $e$ es un entero positivo. Por lo $\chi(1)=et\theta(1)$. Necesitamos que más tarde.

Ahora vamos a echar un vistazo a la irreductible a los mandantes de $\theta^G$. Por Frobenius Reciprocidad tenemos: $[\beta\chi,\theta^G]=[(\beta\chi)_N,\theta]=[\beta(1)\chi_N,\theta]=\beta(1)[\chi_N,\theta]=\beta(1)e.$ Esto significa que todas las diferentes $\beta\chi$ aparecen con multiplicidad $\beta(1)e$ como irreductible constituyente de $\theta^G$.

Por lo tanto $\theta^G(1)=\theta(1)|G:N| \geq \sum_{\beta}\beta(1)e(\beta\chi)(1)=e\chi(1)\sum_\beta\beta(1)^2=e\chi(1)|G:N|=e^2t\theta(1)|G:N|.$ Se sigue que $e^2t \leq 1$, lo que significa $e=1=t$. Pero, a continuación, $\chi_N=\theta$ y hemos terminado.