Dejemos que $f:[a,b] \to \Bbb R $ sea una función continua. Demuestra que hay una c, $c \in (a,b)$ con la siguiente propiedad: $$\int_a^btf(t)dt=a\int_a^cf(t)dt+b\int_c^bf(t)dt$$ Gracias de antemano.
Respuestas
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Utilizaré un lema que espero que conozcas. Si no, puedes intentar demostrarlo, es bastante fácil.
Lema: si $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ es continua entonces hay un punto $c\in (a,b)$ tal que $\int_a^b f(x)dx=f(c)(b-a)$ .
Muy bien, ahora mostraré cómo probar tu problema. Dejemos que $F(x)=\int_a^x f(t)dt$ . Desde $f$ es continua sabemos por el teorema fundamental del cálculo que $F'(x)=f(x)$ . Así que ahora de la integración por partes obtenemos:
$\int_a^b tf(t)dt=tF(t)|_a^b-\int_a^b F(t)dt=bF(b)-aF(a)-\int_a^b F(t)dt=bF(b)-F(c)(b-a)=$
$aF(c)+b(F(b)-F(c))=a\int_a^c f(t)dt+b\int_c^b f(t)dt$
Utilicé el lema que expuse y también los hechos triviales que $F(a)=0$ y $F(b)-F(c)=\int_c^b f(t)dt$ .
Marwan Mizuri
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Sabemos que $$a\int_a^bf(t)dt=\int_a^baf(t)dt < \int_a^btf(t)dt < \int_a^bbf(t)dt = b\int_a^bf(t)dt.$$
Dejemos que $F(x)= a\int_a^xf(t)dt+b\int_x^bf(t)dt$ para $x\in [a,b]$ . Tenga en cuenta que $F(a)=b\int_a^bf(t)dt$ , $F(b)=a\int_a^bf(t)dt$ y $F(x)$ es continua. Por lo tanto, por IVT, existe algún $c$ tal que $a<c<b$ y $F(c)=\int_a^btf(t)dt.$
