Construyendo una progresión aritmética para que$\sum_{i=1}^n f(x_i) =0$

Question

Deje $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ ser una función continua, de modo que $ \exists a, b \in \mathbb{R} $ con $f(a) f(b) <0$. Demostrar que $\forall n>2 \exists$ una progresión aritmética $x_1<x_2<...<x_n$ , de modo que $\sum_{i=1}^n f(x_i) =0$.
Lo que he observado es que no $\exists c \in (a, b) $ , de modo que $f(c) =0$. Creo que esto es lo que necesitamos utilizar para construir una progresión aritmética, pero no he podido hacerlo.

Answer 1

En primer lugar, tenga en cuenta que $f(a)f(b)<0$ sólo significa que $f(a)$ e $f(b)$ tienen signos opuestos.

Por el teorema del valor intermedio, podemos suponer $f(a) = -f(b)$ (de lo contrario, se mueve el punto de $a$ o $b$).

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer $n=2k$ es incluso (de lo contrario, podemos tomar el "medio" punto de $x_{(n+1)/2}$ a cero).

Sugerencia. Ahora, puede encontrar la $x_1 > a$ e $x_n < b$ tal que $f(x_1) = -f(x_n)$? Si es así, se puede completar el argumento por inducción en $k$?

Answer 2

Deje $n\ge 1$ ser dado. Podemos suponer que w.l.o.g. que $a<b$ e $f(a)<0<f(b)$. Por la continuidad de $f$existe $0<\epsilon<\frac{b-a}2$ tal que para todos los $0< h< \epsilon$, $$ f(a+h)<0<f(b-h). $$ By choosing $\delta>0$ such that $n\delta <\epsilon$, we have that for all $k=0,1,\ldots, n$, $$ f(a+k\delta)<0<f(b-k\delta) . $$Definir $ g(x) = f(x)+f(x+\delta)+\cdots +f(x n+\delta) $ for $\le x\le b-n\delta$. Then $g$ is continuous with $g(a)<0<g(b-n\delta)$. By IVT, there is $x_0\in (a,b-n\delta)$ tal que $$ g(x_0) = f(x_0)+f(x_0+\delta)+\cdots +f(x_0+n\delta)=0, $$ como quería.

Answer 3

Tenga en cuenta que fija $n$ podemos parametrizar la suma de los importes por el tamaño de paso de $s$ y el valor inicial $x_1$. A continuación, tenemos un mapa de $F: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ dado por $$F(s,x_1) \rightarrow \sum_{i=1}^{n} f(x_1 + s(i-1)),$$

lo que es claramente continua (desde $f$ es continua) y tiene un cero en el punto de $(0,c),$ donde $c$ es el cero de $f$ que se observó existe necesariamente.

WLOG asumen $a$ e $b$ están a la misma distancia de a$c$. Tome el círculo en torno a $(0,c)$ en $\mathbb{R}^2$ radio $|(a-c)|$. Entonces uno de $F(0,a)$ e $F(0,b)$ es negativo, el otro es positivo, y la restricción de $F$ a este círculo es continua, y por tanto no debe ser un cero de $F$ sobre el círculo con $s$ cero (dado que ya hemos demostrado que los dos puntos en el círculo con $s=0$ no son ceros de $F$). Esto implica la existencia de su progresión aritmética.

Este puede ser limpiado?