¿Cuándo un componente vectorial sigue siendo un vector, exactamente?

Question

El inglés no es mi idioma nativo, así que por favor perdona mis errores.

Considere este ejemplo: Este es un clásico: un ejercicio que requiere que usted para calcular el campo eléctrico producido por una carga anillo sobre su eje. Aquí voy a exponer mi razonamiento para mostrar lo que no puedo entender.

1. Cada pequeña de carga de la $dq$ sobre el anillo está contribuyendo a la del campo eléctrico. Su campo eléctrico es, obviamente, un vector: $$d\vec{E} = \frac{dq}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}}\hat{u}$$
2. Sabemos que debido a la simetría, el $x$ componentes del campo se comportan de manera "normal" lo que significa que se suman, pero la $\bot$ componentes respectivamente cancelar a sí mismos. Tan solo tenemos en cuenta el $x$ de la componente de campo para nuestros cálculos: $$dE_{x} = d\vec{E}\,cos\theta$$ por lo que sé, se $dE_{x}$ el componente de otro vector esto debe ser sólo un número. Sin embargo, también puedo ver que el simmetry hechos hacen que sólo la dirección del campo constante, pero el $dE_{x}$ campo tiene todavía un verso dependiendo de la positividad o negatividad de los cargos del anillo, por lo que no puede ser sólo un número. Mi libro, sin embargo, como este:
3. Introduce la $x$ campo como una función de los números: $$dE_{x}(x) = \frac{\lambda dl}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}}cos\theta$$
4. A continuación, procede a integrar, y se considera el último campo todavía como una función de x, sino como un completo vector: $$\vec{E}(x) = \frac{\lambda cos\theta \hat{u_{x}}}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}}\int_{0}^{l} dl$$

Ahora, me pongo muy confundidos.

1. Primero hemos aislado un componente $dE_{x}$ lo cual no es un vector.
2. Sin embargo componente que todavía es un vector incluso si su dirección es fija, o tal vez el libro era sólo teniendo en cuenta su magnitud. Ahora estamos considerando el campo como una función de un vector: $\vec{E}(x)$ que es igual al producto entre el campo original fórmula $d\vec{E}$ e las $cos\theta$ debido a la simmetry.
3. Así, en la expresión final del libro tenemos el campo como un vector, pero también la $cos\theta$ cual fue el aislamiento de la $x$ componente y, a continuación, también el vector unitario de el campo se llama $\hat{u}_{x}$!

No es esto una repetición? Como puede ver, estoy realmente confundido. Lo que, en este proceso de cálculo, sigue siendo un vector y lo que no? Si era para mí, sin confundirse por cualquier libro que acaba de regresar al paso 2 de la primera lista, a la expresión $$dE_{x} = d\vec{E}\,cos\theta$$ y sólo proceder al cálculo $$dE_{x} = \frac{dq}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}}\hat{u}\,cos\theta$$ pero no podía decir exactamente cómo estos vectores interactuar.

Answer 1

Primero de todo, una expresión como $$dE_{x} = d\vec{E}\,\cos\theta$$ nunca puede ser correcta. Si usted tiene un vector de la derecha, usted también tendrá un vector de la izquierda. La expresión correcta sería $$dE_{x} = d\vec{E} \cdot \hat{u}_x = \frac{dq}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}} \underbrace{(\hat{u} \cdot\hat{u}_x)}_{\cos\theta} = \frac{dq}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}} \cos\theta$$ que es de hecho un escarificador ("sólo un número", como usted lo llama).

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Lo que está sucediendo aquí es que queremos saber el vector del campo eléctrico $$ \vec{E} = \begin{pmatrix} E_x \\ E_y \\ E_z \end{pmatrix}. $$ Sin embargo, sabemos de la simetría, que dos de estas entradas debe ser cero. $$ \vec{E} = \begin{pmatrix} E_x \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}. $$ Ahora, porque ya sabemos de la dirección que el campo apunta (a lo largo de la $x$-eje), sólo necesitamos calcular la magnitud de $E_x$ para obtener nuestro resultado. Así que extraer los escalares $E_x$ desde el vector como este: $$ E_x = \hat{u}_x \cdot \vec{E} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} E_x \\ E_y \\ E_z \end{pmatrix}$$ Ahora queremos conocer la contribución de un elemento línea para el campo total, que ya le has dado $$d\vec{E} = \frac{dq}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}}\hat{u}$$ Pero sólo necesitamos la $x$-componente, que es la proyección de $d\vec{E}$ a de la $x$-eje, que está ya por encima de $$dE_{x} = d\vec{E} \cdot \hat{u}_x = \frac{dq}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}} \cos\theta$$ a partir de la geometría del problema.

A continuación, el cálculo de $E_x$ continúa como en tu post. Sin embargo, al final, queremos que el campo eléctrico vectorial, así que tenemos que sustituir la magnitud de $E_x$ nuevo en un vector que tiene sólo un $x$-componente. $$\vec{E} = \begin{pmatrix} E_x \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = E_x \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = E_x \cdot \hat{u}_x$$

Answer 2

No puedes tener un escalar igual a un vector.

Comenzando desde $d\vec{E} = \dfrac{dq}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}}\hat{u}$ para llegar al componente en la dirección $\hat x$

$d\vec{E} \cdot \hat x = dE_{\rm x} = \dfrac{dq}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}}\hat{u} \cdot \hat x =\dfrac{dq}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}} \cos \theta$

Answer 3

Un vector componente también es un vector. Si tenemos un vector $\vec{v}$ (por ejemplo) dos dimensiones, podemos decir que es la suma de dos componentes, que son sus proyecciones en la $x$-eje y $y$-eje. Matemáticamente:

$$\vec{v} = \vec{v}_x + \vec{v}_y$$

En el problema que se está resolviendo:

$$d\vec{E} = d\vec{E}_x + d\vec{E}_y$$

Esta una suma de vectores, por supuesto. Un vector de componentes es todavía un vector, no es un escalar. Si queremos hablar sobre el módulo de los vectores sin embargo:

$$dE^2 = dE_x^2 + dE_y^2$$

También podemos escribir esto en términos de los ángulos. Nos íbamos a encontrar:

$$dE_x = dE \cos\theta$$ $$dE_y = dE \sin\theta$$

Así, un vector es nunca igual a un escalar.