Resolviendo$(x^2+4x+3)^x+(2x+4)^x=(x^2+4x+5)^x$ con$x\in(-1,\infty)$

Question

He estado luchando por un par de horas en la continuación de pre-cálculo olimpiada de la ecuación a la que todavía no tengo una respuesta:

$$(x^2+4x+3)^x+(2x+4)^x=(x^2+4x+5)^x$$ donde $x \in (-1,\infty)$.

Ahora, de acuerdo con WolframAlpha, esto tiene una solución única, $x=2$, y tengo que demostrar que esta para uno de mis estudiantes sin el uso de derivados o a cualquiera de las técnicas más avanzadas.

Interesante sustituciones que he intentado, pero sin éxito:

1) $a=(x+2)-\frac{1}{x+2}, b=(x+2)-\frac{1}{x+2}$ conduce a $$(b^2-a^2)^x=(b^x-a^x)^2$$

2) $\alpha =2\arctan(x+2)$ conduce a $$(-\cos(\alpha ))^{\tan(\alpha /2)-2} + (\sin(\alpha ))^{\tan(\alpha /2)-2} = 1$$

Ambos hacen que la solución de $x=2$ fácil de ver, pero su unicidad todavía se me escapa.

Answer 1

En primer lugar, la solución trivial es $x=2$.

A continuación, considere el hecho de $$(x^2+4x+3)^2+(2x+4)^2=(x^2+4x+5)^2 \tag{1}$$

Y el hecho de $\dfrac{x^2+4x+3}{x^2+4x+5}$ e $\dfrac{2x+4}{x^2+4x+5}$ están en $(0,1)$ si $x \in (-1,\infty)$. (Creo que puede averiguarlo por sí mismo.)

Considere la posibilidad de que $a^x$ es estrictamente decreciente si $a\in (0,1)$.

Podemos conseguir fácilmente $$\left({x^2+4x+3\over x^2+4x+5}\right)^x \gt \left({x^2+4x+3\over x^2+4x+5}\right)^2 \tag{2}$$ if $x\en (-1,2)$, y en otros casos.

Tenemos:

Caso:$x\in (-1,2)$, luego $$\left({x^2+4x+3\over x^2+4x+5}\right)^x+\left({2x+4\over x^2+4x+5}\right)^x \gt \left({x^2+4x+3\over x^2+4x+5}\right)^2+\left({2x+4\over x^2+4x+5}\right)^2=1 \tag{3}$$.

En otro caso ($x\in (2, \infty)$), tenemos $$\left({x^2+4x+3\over x^2+4x+5}\right)^x+\left({2x+4\over x^2+4x+5}\right)^x \lt \left({x^2+4x+3\over x^2+4x+5}\right)^2+\left({2x+4\over x^2+4x+5}\right)^2=1 \tag{4}$$

Por lo tanto, la única solución es $x=2$.