Categoría con colimits pero sin límites.

Question

(Sospecho que esta es una pregunta muy fácil: no he pasado mucho tiempo pensando acerca de la categoría de teoría.) $\DeclareMathOperator{\colim}{colim}\DeclareMathOperator{\Dom}{Dom}\DeclareMathOperator{\im}{im}$

En El Mar en Aumento, Ravi Vakil notas que nuestra intuición para los límites y colimits del diagrama $$\lim{X_j}\to\dots\to X_{-2}\to X_{-1}\to X_0\to X_1\to X_2\to\dots\to\colim{X_j}$$ (the dots may be finite and diagonal morphisms were omitted to fit within MathJax) are very different. To wit, each element of $\lim{X_j}$ is a sequence of "compatible" elements from the $\{X_j\}_j$, whereas each element of $\colim{X_j}$ is a single distinguished element from $X_k$.

En mi mente, esta discrepancia se produce debido a una asimetría fundamental en la intuición con respecto a homomorphism functors. Es decir, si tenemos $f\in X_0\to X_1$, entonces podemos asumir automáticamente que habrá algún remanente de $X_0$ en $\im{(f)}$. Por el contrario, dado $f\in X_{-1}\to X_0$, no hacemos la suposición de que $\Dom{(f)}=X_{-1}$ contiene todas las propiedades de $X_0$; algunos pueden ser "emergente."

Para decirlo de otra manera, parece más difícil de construir dominios de rangos para las funciones. Es esta intuición arraigado en la verdad; es decir, no existe una categoría con colimits pero no hay límites?

Answer 1

Seguro que, por ejemplo, con la categoría de $$A \rightarrow B \leftarrow C$$

Otras de las identidades, no es exactamente una flecha de $A$ a $B$ y una flecha de $C$ a $B$.

Tiene todos los colimits (casi todos, que es; no hay ningún objeto inicial) -- el colimit de cada diagrama que contiene dos objetos diferentes es $B$, y de un diagrama que contiene sólo un objeto es el objeto en sí.

Pero no tiene todos los límites; por ejemplo, no hay ningún producto de $A$ e $C$.

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Por supuesto, el opuesto a la categoría de una categoría con todos los colimits y no todos los límites de una categoría con todos los límites y no todos los colimits ...

Answer 2

Me opongo a que la premisa de la pregunta, a saber, que la existencia de una categoría con colimits pero no se limita tiene nada que ver con la intuición de que discutir. Tenga en cuenta que en una categoría arbitraria, morfismos no necesita tener ninguna relación con las funciones. Por otra parte, dado cualquier categoría $C$, puede formar el frente de la categoría de $C^{op}$ que invierte la dirección de las flechas. Así, los dominios y codomains son realmente completamente simétrica si estás hablando de categorías arbitrarias. Por ejemplo, si $C$ tiene todos colimits pero no todos los límites, a continuación, $C^{op}$ tiene todos los límites, pero no todos los colimits.

La intuición de que Ravi Vakil está hablando es no aplicable arbitraria de las categorías. Por el contrario, es aplicable a la especie de "concreto" categorías que tienden a encontrarse en la práctica (pero no su opuesto categorías), donde morfismos están estrechamente relacionadas con las funciones y los límites de filtrado y colimits se construyen de forma similar a como se encuentran en la categoría de conjuntos.

Como por la forma en que interpretan la intuición, no estoy del todo seguro de lo que quieres decir, pero no parece totalmente razonable. La manera en que yo podría expresar es que un mapa de $X_n\to X$ le da elementos reales de $X$ para cada elemento de la $X_0$. Por lo tanto, si $X$ es el colimit de la secuencia, tiene elementos específicos que provienen de los elementos de cada una de las $X_n$ (y puede ser deducido a partir de la característica universal de que cada elemento de a$X$ proviene de alguna $X_n$, al menos en la categoría de conjuntos). Por otro lado, un mapa de $X\to X_n$ no dirá algún elemento específico de $X$. Así, no se puede describir lo que un elemento de $X$ puede mirar como el uso de un solo $X_n$; usted realmente necesita toda la secuencia antes de que usted pueda incluso el nombre de un único elemento de $X$.