Muestran que

Question

El ejercicio original es

Demostrar que

$$4(\cos^320^\circ+\sin^310^\circ)=3(\cos20^\circ+\sin10^\circ)$$

Dividir ambos lados por $\cos20^\circ+\sin10^\circ$ me lleva al problema en la pregunta del título.

He tratado de reescribir el lado izquierdo, en términos de $\sin10^\circ$:

$$4\sin^410^\circ+2\sin^310^\circ-3\sin^210^\circ-\sin10^\circ+1\quad(*)$$

pero no parece ser de cualquier manera inmediata para simplificar aún más. He considerado la posibilidad de sustitución de $x=10^\circ$ a ver si había alguna observación que podría hacer sobre el más general polinomio $4x^4-2x^3-3x^2-x+1$ pero no veo nada particularmente útil acerca de eso. Intentar reescribir en términos de $\cos20^\circ$ parece que sería complicar las cosas innecesariamente(?) la introducción de raíces cuadradas.

Hay una aplicación inteligente de las identidades para llegar al valor de $\dfrac34$? He considerado

$$\cos20^\circ\sin10^\circ=\frac{\sin30^\circ-\sin10^\circ}2=\frac14-\frac12\sin10^\circ$$

que elimina el cúbicos plazo en $(*)$, y yo tendría que demostrar que

$$4\sin^410^\circ-3\sin^210^\circ+\frac12\sin10^\circ=0$$

$$4\sin^310^\circ-3\sin10^\circ+\frac12=0$$

Answer 1

La última ecuación es trivial porque $\sin 3\theta=3\sin \theta-4\sin^3\theta$ .

Answer 2

Un número complejo prueba de que el ejercicio original.

Por la fórmula de Euler, tenemos que $$\text{Re}\left((\cos 20^\circ+i\sin 20^\circ)^3\right)=\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}=\sin(30^\circ)=\text{Im}\left((\cos 10^\circ+i\sin 10^\circ)^3\right)$$ Por lo tanto $$\cos^3 20^\circ-3\cos 20^\circ \sin^2 20^\circ =3\cos^2 10^\circ\pecado 10^\circ -\sin^3 10^\circ$$ o $$\cos^3 20^\circ-3\cos 20^\circ (1-\cos^2 20^\circ) =3(1-\sin^2 10^\circ)\pecado 10^\circ -\sin^3 10^\circ $$ lo que implica $$4(\cos^320^\circ+\sin^310^\circ)=3(\cos20^\circ+\sin10^\circ).$$ El mismo argumento nos lleva a la siguiente generalización: si $c^\circ +s^\circ=30^\circ$luego $$4(\cos^3 c^\circ+\sin^3 s^\circ)=3(\cos c^\circ+\sin s^\circ).$$

Answer 3

Podemos utilizar también la siguiente manera. $$\cos^220^\circ-\cos20^\circ\sin10^\circ+\sin^210^\circ=$ $ $$=\frac{1}{2}(1+\cos40^{\circ})-\frac{1}{2}(\sin30^{\circ}-\sin10^{\circ})+\frac{1}{2}(1-\cos20^{\circ})=$ $ $$=\frac{3}{4}+\frac{1}{2}(\cos40^{\circ}+\sin10^{\circ}-\cos20^{\circ})=$ $ $$=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}(\sin10^{\circ}-2\sin30^{\circ}\sin10^{\circ})=\frac{3}{4}.$ $

Answer 4

La solución obvia

$\cos3(20^\circ)=4\cos^320^\circ-3\cos20^\circ$ y $\sin3(10^\circ)=3\sin10^\circ-4\sin^310^\circ$ y $\cos3(20^\circ)=\sin3(10^\circ)$

Alternativamente, dividiendo ambos lados por $\cos20^\circ+\sin10^\circ$ y la sustitución de $\cos20^\circ=1-2\sin^210^\circ$

con $\sin10^\circ=s,3s-4s^3=\sin3(10^\circ)=\dfrac12$

$$4(1-2s^2)^2-4(1-2s^2)s+4s^2=3$$

$$\iff16s^4+8s^3-12s^2-4s+1=0$$

$$\iff-4s\left(3s-4s^3-\dfrac12\right)-2\left(3s-4s^3-\dfrac12\right)=0$$

Answer 5

Necesitamos $$4\cos^220^\circ-4\cos20^\circ\sin10^\circ+4\sin^210^\circ=3$ $

PS

PS

lo que es evidente a partir de las fórmulas de prótesis