¿Cómo obtener la representación integral de$f'$ de la de$f$? (Fórmula Integral de Cauchy)

Question

Sé que si $f$ es holomorphic en un conjunto abierto $\Omega$ que contiene un círculo $C$ y del interior, a continuación, para cualquier $z_0$ en el interior de $C$ hemos

$$f(z_0) = \dfrac {1}{2 \pi i} \int_{C} \dfrac {f(w)}{w-z}dw$$

donde $C$ tiene orientación positiva. Si calculamos el cociente de la diferencia, que viene a

$$f'(z_0) = \dfrac {1}{2 \pi i} \lim_{h \to 0} \int_C \dfrac {f(w)}{(w-z_0)(w-z_0 - h)}dw$$

Obviamente me gustaría intercambiar el límite de la integral. Supongo que sería posible mediante la incorporación de algunos de los más llamativos son los teoremas, pero hay una manera de conseguir alrededor de esto, con sólo lo básico y llegar a

$$f'(z_0) =\dfrac {1}{2 \pi i} \int_C \dfrac {f(w)}{(w-z_0)^2}dw$$

Answer 1

Deje $\epsilon=\min\limits_{w\in C}|w-z_0|>0$ e $|h|<\frac{\epsilon}2$ , de modo que $|w-z_0-h|>\frac{\epsilon}2$ para todos los $w\in C$. Tenemos $$\begin{align*} \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}-\frac1{2\pi i}\int_C \frac{f(w)}{(w-z_0)^2} dw&=\frac1{2\pi i}\int_C \frac{f(w)}{w-z_0}\left(\frac{1}{w-z_0-h}-\frac1{w-z_0}\right) dw\\&=\frac{h}{2\pi i}\int_C \frac{f(w)dw}{(w-z_0)^2(w-z_0-h)} \end{align*}$$, y $$\begin{align*} \left|\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}-\frac1{2\pi i}\int_C \frac{f(w)}{(w-z_0)^2} dw\right|&\le \frac{|h|}{2\pi}\cdot \int_C \frac{\max_{w\in C}|f(w)|}{\epsilon^3/2}\ |dw|\\&\le \frac{\text{len}(C)}{\pi} \frac{\max_{w\in C}|f(w)|}{\epsilon^3}\cdot |h|. \end{align*}$$ If we let $|h|\to 0$, se sigue que $$ \lim_{h\to 0}\left|\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}-\frac1{2\pi i}\int_C \frac{f(an)}{(w-z_0)^2} dw\right|=0 $$, o, equivalentemente, $$ f'(z_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}=\frac1{2\pi i}\int_C \frac{f(an)}{(w-z_0)^2} dw. $$