Blow-up del espacio afín a lo largo de la subvariedad.

Question

Breve resumen de la pregunta:

Deje $C\subset \mathbb A^n$ ser un singular y la curva de $\pi:X=Bl_C\mathbb A^n\to \mathbb A^n$ ser el blow-up a lo largo de $C$.

1) hay una referencia que muestra que $\pi^{-1}(C)=\mathbb P(\mathcal N_{C/\mathbb A^n})$?
2) Es $\pi^{-1}(C)\to C$ localmente trivial algebraicas $\mathbb P^{n-2}$-bundle, es decir, localmente el aspecto de $C\times \mathbb P^{n-2}$? O es más bien el aspecto de $Bl_pC\times \mathbb P^{n-2}$ donde $p$ es el punto singular de $C$?

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Estaba leyendo acerca de blow-ups a lo largo de sub-variedades recientemente en Shafarevich del libro y tengo una pregunta acerca de ello.

Tomemos una curva de $C$ en $\mathbb A^n$ y considerar la posibilidad de $X=Bl_C\mathbb A^n$. Desde $C$ es unidimensional, tenemos (a nivel local) $m=n-1$ ecuaciones para definir y, por lo tanto, según mi libro de texto, $$X\subset \mathbb A^n\times \mathbb P^{m-1}=\mathbb A^n\times \mathbb P^{n-2}.$$

De vuelta a la curva caso, a nivel local, la situación puede ser descrita de forma explícita y sobre cada punto de $C$ nos encontramos con un $\mathbb P^{n-2}$ en $X$. En particular, $\pi^{-1}(C)\to C$ es una expresión algebraica de fibra de paquete con fibras de $\mathbb P^{n-2}$. Por $\pi$ claro, me refiero al golpe del mapa. Shafarevich más da la agradable descripción global que $$\pi^{-1}(C)=\mathbb P(N_{C/\mathbb A^n}),$$ where $N_{C/ \mathbb A^n}$ denota la normal en paquete.

Tan lejos y tan bien, creo que he entendido que, al menos las partes del libro. Ahora, si $C$ es una curva con un punto singular, decir $p\in C$, creo que tenemos una descripción similar y que $$\pi^{-1}(C)=\mathbb P(\mathcal N_{C/ \mathbb A^n}),$$ where $\mathcal N_{C/ \mathbb A^n}$ denota la normal de la gavilla. Es esto correcto? La única referencia que tengo para blow-ups a lo largo de general subschemes que pude encontrar fue la geometría Algebraica libro por Hartshorne y no puedo traducir su descripción de la voladura en el uno por Shafarevich. Así que si usted me puede dar alguna referencia que realmente me ayudaría.

Hasta este punto creo que a mí mismo a ser más o menos en el lado seguro. Sin embargo, yo estaba pensando acerca de cómo $\mathbb P (\mathcal N_{C/ \mathbb A^n})$ va a ser como en la general y cómo puedo interpretar de un golpe-a lo largo de $C$. Mi ingenuo pensar es que tenemos una especie de golpe de todo punto en $C$ a la vez. Pero entonces tendríamos, en particular, de golpe hasta el punto singular de $C$. Así que no $\mathcal N_{C/ \mathbb A^n}$ localmente parecerse a $C\times \mathbb P^{n-2}$ o, más bien, como $Bl_pC\times \mathbb P^{n-2}$? Y si éste es el caso, ¿qué sucede con el divisor por el golpe de $C$ a $p$?

Espero que esta pregunta no es demasiado vaga. Si hay una manera de mejorarlo, por favor hágamelo saber. Soy consciente de que una pregunta se supone que debe mostrar "el esfuerzo de la investigación", pero ya que estas preguntas sólo vino a mí mientras leía un libro de texto, realmente no tengo ni idea de como empezar y era incapaz de decir más de lo que acabo de escribir.

EDIT: he Aquí algunos ejemplos:

1) $C=\{x^2+y^2+z=z=0\}\subset \mathbb A^3$. El golpe es dado en el respectivo afín a los gráficos por $a_0(x^2+y^2)=0$ e $a_1(x^2+y^2)=0$. Así que aquí parece a $C\times \mathbb P^1$.

2) $C=\{xy+z^2=x^3+y^3=0\}\subset \mathbb A^3$. En las respectivas cartas obtenemos $$a_0(xy+z^2)=x^3+y^3=0\quad\text{and}\quad xy+z^2=a_1(x^3+y^3)=0.$$ Y aquí soy incapaz de continuar. Probablemente, más luz puede arrojar sobre la situación mediante el cálculo de las normales gavilla de forma explícita. Le pregunté a una pregunta relacionada Calcular normal gavilla de ecuaciones de hace algún tiempo pero no puedo gestionar para adecuar la respuesta a la nueva situación aquí.

Answer 1

1) En general, al estallar $X$ a lo largo de $Y$, la pre-imagen de $Y$ es el projectivisation de la normal de cono de $Y$ en $X$ (fundamentalmente por la definición de la normal de cono). Cuando $Y$ es regularmente incrustado en $X$, entonces la normal de cono es la misma que la de su paquete normal, y se recupera la noción usual que el divisor excepcional es el projectivisation de la normal en paquete.

Usted puede encontrar esto en el apéndice de Fulton de la intersección de la teoría.

2) anteriores, si $C$ es regularmente incorporado a continuación, usted encontrará que la excepcional divisor es un proyectiva paquete de más de $C$ (usted debe ver esto en tus ejemplos!). Si $C$ no es regular incrustada, entonces lo que tienes es un proyectivas de cono sobre $C$.

Answer 2

No estoy seguro de si esta respuesta es correcta, así que pedimos a la comunidad para revisar y comentar sobre el mismo.

Deje $C$ ser dado por las ecuaciones $f_1,\dots, f_{n-1}\in O_{\mathbb A^n}$. A continuación, $$Bl_C\mathbb A^n=\{(x_1,\dots, x_n)\times (a_1,\dots, a_{n-1})\in \mathbb A^n\times \mathbb P^{n-2}\mid a_if_j=f_ja_i\}.$$ We still find $C$ inside $Bl_C\mathbb A^n$ as the zero-locus $f_1(x_1,\dots, x_n)=\dots=f_{n-1}(x_1,\dots,x_n)=0$ and whenever this holds, the equations $a_if_j=a_jf_i$ are trivially satisfied because there is zero on both sides. Thus, we obtain $C\times \mathbb P^{n-2}$ as the preimage under the blow-up map and $\mathbb P(\mathcal N_{C/\mathbb A^n})\a C$ is an algebraic fibre bundle with fibres $\mathbb P^{n-2}$ that is locally trivial, i.e. locally of the form $C\times \mathbb P^{n-2}$.