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Razona si es cierto que:

Supongamos G es un grupo. {Xn}n=1 es una secuencia de yo.yo.d. elementos aleatorios de G satisfacer la condición de que

\forall H \leq G, \qquad P(X_1, \in H) = \begin{cases}
   \frac{1}{[G:H]} & \quad \text{if %#%#% is finite}\\
   0  & \quad \text{if %#%#% is infinite}
 \end{casos}

Es cierto que

[G:H]$

Lo que he intentado hasta ahora?

Si aceptamos un adicional de suposición, de que los eventos de [G:H] e $$\lim_{n \to \infty} P(\forall i,j\leq n, \ [X_i, X_j] = e)^{\frac{1}{n}} = P(X_1 \in Z(G)) \ ? $ son independientes para cualquier natural {ip, XiCG(Xp)}. A continuación, podemos ver, que

{iq, XiCG(Xq)}$

Ahora, vamos a ver, que por un lado

P({ji, XjCG(Xi)})=P(XiZ(G))+(1P(XiZ(G))P(X1CG(Xi))i1P(X1Z(G))+(1P(X1Z(G))(12)i1=12i1+(112i1)P(X1Z(G))=P(X1Z(G))(112i1+12i1P(X1Z(G)))

y en el otro lado

P({ji, XjCG(Xi)})=P(XiZ(G))+(1P(XiZ(G))P(X1CG(Xi))i1P(X1Z(G))+(1P(X1Z(G))P(X1Z(G))i1=P(X1Z(G))i1+(1P(X1Z(G))i1)P(X1Z(G))=P(X1Z(G))(1P(X1Z(G))i1+P(X1Z(G))i2)

Por lo tanto, tenemos

P(X1Z(G))=lim

Sin embargo, no sé cómo demostrar que los eventos en nuestra suposición siempre son independientes (o hay un contraejemplo?). Y tampoco sé cómo probar la declaración principal de la cuestión sin utilizar el mencionado supuesto.

5voto

Himanshi Puntos 11

Creo S_3 es un contraejemplo. Deje H< S_3 ser el único subgrupo de índice 2. A continuación, H es abelian, y para cada n hemos P(\forall i,j:[X_i,X_j]=e)^{1/n} \geq P(\forall i: X_i\in H)^{1/n}=\frac{1}{2}. This means the limit on the left (if it exists) is at least 1/2. On the other hand, Z(S_3)=\{e\}, so P(X_1,\Z(S_3))=P(X_1=e)=1/6.

Para general G, un argumento similar se debe mostrar que \liminf_{n\to\infty}P(\forall (i,j\leq n:[X_i,X_j]=e) \geq \max_{\substack{H\leq G\\H\text{ abelian}}}\frac{1}{[G:H]}.

2voto

zhoraster Puntos 5893

Para finitos G, el límite dado en Julian Rosen la respuesta es el límite exacto, es decir, yo reclamo que \mathrm P(\forall (i,j\le n,\ [X_i,X_j] = e)^{1/n}\a \max_{\text{abelian }H \le G}\frac{1}{[G:H]} = \max_{\text{abelian }H \le G}\mathrm P(X_1, \in H). \etiqueta{$\ast$}

De hecho, denotando por \mathcal A la colección de abelian subgrupos de G, \limsup_{n\to \infty} \mathrm P(\forall (i,j\le n,\ [X_i,X_j] = e)^{1/n} \le \limsup_{n\to \infty}\biggl(\sum_{H\in \mathcal Un} \mathrm P(\forall i\le n,\ X_i\in H)\biggr)^{1/n} =\\ = \limsup_{n\to \infty}\biggl(\sum_{H\in \mathcal Un} \mathrm P(X_1,\in H)^n\biggr)^{1/n} = \max_{H\in \mathcal Un} \mathrm P(X_1,\in H).

Ya que por Julian Rosen de la respuesta, \liminf_{n\to \infty} \mathrm P(\forall (i,j\le n,\ [X_i,X_j] = e)^{1/n}\ge \max_{H\in \mathcal Un}\mathrm P(X_1, \in H), llegamos a (\ast).


En orden a la modificación de) el argumento de trabajar, es suficiente para suponer que para algunos n\ge 1, \sum_{H\in \mathcal A^*} \mathrm P(X_1\in H)^n<\infty, donde \mathcal A^* es la colección de todas máxima abelian subgrupos de G.

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