Supongamos G es un grupo. {Xn}∞n=1 es una secuencia de yo.yo.d. elementos aleatorios de G satisfacer la condición de que
\forall H \leq G, \qquad P(X_1, \in H) = \begin{cases}
\frac{1}{[G:H]} & \quad \text{if %#%#% is finite}\\
0 & \quad \text{if %#%#% is infinite}
\end{casos}Es cierto que
[G:H]$
Lo que he intentado hasta ahora?
Si aceptamos un adicional de suposición, de que los eventos de [G:H] e $$\lim_{n \to \infty} P(\forall i,j\leq n, \ [X_i, X_j] = e)^{\frac{1}{n}} = P(X_1 \in Z(G)) \ ? $ son independientes para cualquier natural {∀i≤p, Xi∈CG(Xp)}. A continuación, podemos ver, que
{∀i≤q, Xi∈CG(Xq)}$
Ahora, vamos a ver, que por un lado
P({∀j≤i, Xj∈CG(Xi)})=P(Xi∈Z(G))+(1−P(Xi∈Z(G))P(X1∈CG(Xi))i−1≤P(X1∈Z(G))+(1−P(X1∈Z(G))(12)i−1=12i−1+(1−12i−1)P(X1∈Z(G))=P(X1∈Z(G))(1−12i−1+12i−1P(X1∈Z(G)))
y en el otro lado
P({∀j≤i, Xj∈CG(Xi)})=P(Xi∈Z(G))+(1−P(Xi∈Z(G))P(X1∈CG(Xi))i−1≥P(X1∈Z(G))+(1−P(X1∈Z(G))P(X1∈Z(G))i−1=P(X1∈Z(G))i−1+(1−P(X1∈Z(G))i−1)P(X1∈Z(G))=P(X1∈Z(G))(1−P(X1∈Z(G))i−1+P(X1∈Z(G))i−2)
Por lo tanto, tenemos
P(X1∈Z(G))=lim
Sin embargo, no sé cómo demostrar que los eventos en nuestra suposición siempre son independientes (o hay un contraejemplo?). Y tampoco sé cómo probar la declaración principal de la cuestión sin utilizar el mencionado supuesto.