Razona si es cierto que:

Question

Supongamos $G$ es un grupo. $\{X_n\}_{n = 1}^{\infty}$ es una secuencia de yo.yo.d. elementos aleatorios de $G$ satisfacer la condición de que

$$\forall H \leq G, \qquad P(X_1, \in H) = \begin{cases} \frac{1}{[G:H]} & \quad \text{if %#%#% is finite}\\ 0 & \quad \text{if %#%#% is infinite} \end{casos}$$

Es cierto que

$[G:H]$$

Lo que he intentado hasta ahora?

Si aceptamos un adicional de suposición, de que los eventos de $[G:H]$ e $$\lim_{n \to \infty} P(\forall i,j\leq n, \ [X_i, X_j] = e)^{\frac{1}{n}} = P(X_1 \in Z(G)) \ ? $ son independientes para cualquier natural $\{\forall i \leq p, \ X_i \in C_G(X_p) \}$. A continuación, podemos ver, que

$\{\forall i \leq q, \ X_i \in C_G(X_q) \}$$

Ahora, vamos a ver, que por un lado

$$\begin{align*} &P(\{\forall j \leq i, \ X_j \in C_G(X_i) \}) \\ &= P(X_i \in Z(G)) + (1 - P(X_i \in Z(G))P(X_1 \in C_G(X_i))^{i - 1} \\ &\leq P(X_1 \in Z(G)) + (1 - P(X_1 \in Z(G))\left(\frac{1}{2}\right)^{i - 1} \\ &= \frac{1}{2^{i - 1}} + \left(1 - \frac{1}{2^{i - 1}}\right)P(X_1 \in Z(G)) \\ &= P(X_1 \in Z(G))\left(1 - \frac{1}{2^{i - 1}} + \frac{1}{2^{i - 1}P(X_1 \in Z(G))}\right) \end{align*}$$

y en el otro lado

$$\begin{align*} &P(\{\forall j \leq i, \ X_j \in C_G(X_i) \}) \\ &= P(X_i \in Z(G)) + (1 - P(X_i \in Z(G))P(X_1 \in C_G(X_i))^{i - 1} \\ &\geq P(X_1 \in Z(G)) + (1 - P(X_1 \in Z(G))P(X_1 \in Z(G))^{i - 1} \\ &= P(X_1 \in Z(G))^{i - 1} + \left(1 - P(X_1 \in Z(G))^{i - 1}\right)P(X_1 \in Z(G)) \\ &= P(X_1 \in Z(G))\left(1 - P(X_1 \in Z(G))^{i - 1} + P(X_1 \in Z(G))^{i - 2}\right) \end{align*}$$

Por lo tanto, tenemos

$$\begin{align*} &P(X_1 \in Z(G)) \\ &= \lim_{i \to \infty} P(X_1 \in Z(G))\left(1 - P(X_1 \in Z(G))^{i - 1} + P(X_1 \in Z(G))^{i - 2}\right) \\ &= \lim_{n \to \infty} \left( \prod_{i = 1}^n P(X_1 \in Z(G)) \left(1 - P(X_1 \in Z(G))^{i - 1} + P(X_1 \in Z(G))^{i - 2} \right) \right)^{\frac{1}{n}} \\ &\leq \lim_{n \to \infty} P(\forall i,j\leq n, \ [X_i, X_j] = e)^{\frac{1}{n}} \\ &\leq \lim_{n \to \infty} \left( \prod_{i = 1}^n P(X_1 \in Z(G)) P(X_1 \in Z(G)) \left(1 - \frac{1}{2^{i - 1}} + \frac{1}{2^{i - 1}P(X_1 \in Z(G))} \right) \right)^{\frac{1}{n}} \\ &= \lim_{i \to \infty} P(X_1 \in Z(G))\left(1 - \frac{1}{2^{i - 1}} + \frac{1}{2^{i - 1}P(X_1 \in Z(G))} \right) \\ &= P(X_1 \in Z(G)). \end{align*}$$

Sin embargo, no sé cómo demostrar que los eventos en nuestra suposición siempre son independientes (o hay un contraejemplo?). Y tampoco sé cómo probar la declaración principal de la cuestión sin utilizar el mencionado supuesto.

Answer 1

Creo $S_3$ es un contraejemplo. Deje $H< S_3$ ser el único subgrupo de índice $2$. A continuación, $H$ es abelian, y para cada $n$ hemos $$P(\forall i,j:[X_i,X_j]=e)^{1/n} \geq P(\forall i: X_i\in H)^{1/n}=\frac{1}{2}.$$ This means the limit on the left (if it exists) is at least $1/2$. On the other hand, $Z(S_3)=\{e\}$, so $P(X_1,\Z(S_3))=P(X_1=e)=1/6$.

Para general $G$, un argumento similar se debe mostrar que $$\liminf_{n\to\infty}P(\forall (i,j\leq n:[X_i,X_j]=e) \geq \max_{\substack{H\leq G\\H\text{ abelian}}}\frac{1}{[G:H]}.$$

Answer 2

Para finitos $G$, el límite dado en Julian Rosen la respuesta es el límite exacto, es decir, yo reclamo que $$\mathrm P(\forall (i,j\le n,\ [X_i,X_j] = e)^{1/n}\a \max_{\text{abelian }H \le G}\frac{1}{[G:H]} = \max_{\text{abelian }H \le G}\mathrm P(X_1, \in H). \etiqueta{$\ast$}$$

De hecho, denotando por $\mathcal A$ la colección de abelian subgrupos de $G$, $$\limsup_{n\to \infty} \mathrm P(\forall (i,j\le n,\ [X_i,X_j] = e)^{1/n} \le \limsup_{n\to \infty}\biggl(\sum_{H\in \mathcal Un} \mathrm P(\forall i\le n,\ X_i\in H)\biggr)^{1/n} =\\ = \limsup_{n\to \infty}\biggl(\sum_{H\in \mathcal Un} \mathrm P(X_1,\in H)^n\biggr)^{1/n} = \max_{H\in \mathcal Un} \mathrm P(X_1,\in H).$$

Ya que por Julian Rosen de la respuesta, $$\liminf_{n\to \infty} \mathrm P(\forall (i,j\le n,\ [X_i,X_j] = e)^{1/n}\ge \max_{H\in \mathcal Un}\mathrm P(X_1, \in H),$$ llegamos a $(\ast)$.

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En orden a la modificación de) el argumento de trabajar, es suficiente para suponer que para algunos $n\ge 1$, $\sum_{H\in \mathcal A^*} \mathrm P(X_1\in H)^n<\infty$, donde $\mathcal A^*$ es la colección de todas máxima abelian subgrupos de $G$.