La intuición detrás de $(-\frac{1}{2})! = \sqrt{\pi}$

Question

Puede ser demostrado que el uso de la definición de la función Gamma como: $$\Gamma(t) = \int_0^\infty x^{t-1} e^{-x} dx $$ that $$\Gamma(\tfrac{1}{2}) = \sqrt{\pi}$$ or slightly abusing notation, that $(-\frac{1}{2})! = \sqrt{\pi}$. Hay una intuitiva explicación a esto?

Quiero dejar claro que yo no soy de por sí interesado en una prueba de este hecho (la mayoría de las veces estos son inteligentes técnica manipulaciones), sino en la comprensión de este fenómeno.

Answer 1

Hay que considerar el área de la superficie de la $n-$Pelota con el radio de $1$ . Está dada por:

$$ A_{n}=2\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)} $$

Nuestra intuición nos dice que para $n=1$ de la superficie de la "zona" (o, para ser matemáticamente más precisa, la, la medida de Hausdorff como @Michael Galuza señaló correctamente)debe ser de 2, ya que constan de dos puntos. Para hacer esto en consonancia con la fórmula anterior tenemos que la demanda que

$$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$$

Answer 2

Hay una intuitiva explicación a esto ?

Sí. Hay un cordón umbilical de conexión entre el $\bigg(\dfrac1n\bigg){\large!}$ o $\Gamma\bigg(\dfrac1n\bigg)$, y las formas geométricas de la
formulario de $X^n+Y^n=R^n\iff x^n+y^n=1\iff y=\sqrt[n]{1-x^n}$, cuya área es de $\displaystyle\int_0^1\sqrt[n]{1-x^n}~dx$,
que no es otra cosa que la función beta en el disfraz. En última instancia, todo está relacionado con el de Newton
teorema del binomio. El último se expande el poder de una suma en una suma de poderes, con la
ayuda de los coeficientes binomiales, o beta de funciones, que se expresa en términos de factoriales, o $\Gamma$
funciones.

Answer 3

$\color{red}{\text{beta-gamma function relation}}$

Aviso, sabemos de la función beta que $$\int_{0}^{\pi/2}\sin^m(\theta) \cos^n(\theta)d\theta$$ $$=\frac{\Gamma\left(\frac{m+1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{2\Gamma\left(\frac{m+n+2}{2}\right)}$$ Sustituyendo $m=n=0$, obtenemos $$\int_{0}^{\pi/2}(\sin(\theta))^{0} (\cos^n(\theta))^{0}d\theta=\frac{\Gamma\left(\frac{0+1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{0+1}{2}\right)}{2\Gamma\left(\frac{0+0+2}{2}\right)}$$

$$\int_{0}^{\pi/2}d\theta=\frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{2\Gamma\left(1\right)}$$

$$[\theta]_{0}^{\pi/2}=\frac{\left(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\right)^2}{2\times 1}$$ $$\frac{\pi}{2}=\frac{\left(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\right)^2}{2}$$ $$\left(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\right)^2=\pi$$ $$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt \pi$$