Una cuestión de desigualdad sobre $x\ln x+x^2$ .

Question

Supongamos que tenemos $x_1\ln x_1+x_1^2=x_2\ln x_2 +x_2^2$ con $0<x_1<x_2$ . Entonces

$x_1\ln x_1+x_2\ln x_2 +x_1+x_2+2x_1^2+2x_2^2>0$ ?

No estoy seguro de que la conclusión sea cierta o errónea. Según el programa de matemáticas, parece que es verdadera. No tengo ni idea de cómo lidiar con el problema, estoy dispuesto a demostrar que la declaración es verdadera, pero ningún resultado.

Cualquier comentario sería útil.

Answer 1

Aquí hay una prueba a la que le falta un paso (en cursiva); creo que ese paso debería ser más fácil que el problema original.

Dejemos que $f(x) = x\ln x+x^2$ y $g(x) = x\ln x+x+2x^2$ ; también definen $c\approx 0.2315$ para ser la raíz de $f'(x) = 2x+\ln x+1$ . Encuentre una manera de demostrar que $f(2c-x) < f(x)$ para $0<c<x$ .

Elija $0<x_1<x_2$ para que $f(x_1)=f(x_2)$ entonces, de hecho $0 < x_1 < c < x_2$ . Desde $f(2c-x_1) > f(x_1)$ se deduce que $x_2 > 2c-x_1$ . Por lo tanto, ya que $g(x)$ aumenta para $x>c$ para demostrar que $g(x_1)+g(x_2)>0$ basta con demostrar que $g(x_1) + g(2c-x_1) > 0$ para $0 < x_1 < c$ . Pero esto se deduce del hecho de que la derivada de la función $g(x) + g(2c-x)$ resulta ser $8(x-c) + \ln(x/(2c-x))$ que es negativo para $0<x<c$ , mientras que $g(c) + g(2c-c)=0$ .