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Una cuestión de desigualdad sobre xlnx+x2 .

Supongamos que tenemos x1lnx1+x21=x2lnx2+x22 con 0<x1<x2 . Entonces

x1lnx1+x2lnx2+x1+x2+2x21+2x22>0 ?

No estoy seguro de que la conclusión sea cierta o errónea. Según el programa de matemáticas, parece que es verdadera. No tengo ni idea de cómo lidiar con el problema, estoy dispuesto a demostrar que la declaración es verdadera, pero ningún resultado.

Cualquier comentario sería útil.

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ND Geek Puntos 880

Aquí hay una prueba a la que le falta un paso (en cursiva); creo que ese paso debería ser más fácil que el problema original.

Dejemos que f(x)=xlnx+x2 y g(x)=xlnx+x+2x2 ; también definen c0.2315 para ser la raíz de f(x)=2x+lnx+1 . Encuentre una manera de demostrar que f(2cx)<f(x) para 0<c<x .

Elija 0<x1<x2 para que f(x1)=f(x2) entonces, de hecho 0<x1<c<x2 . Desde f(2cx1)>f(x1) se deduce que x2>2cx1 . Por lo tanto, ya que g(x) aumenta para x>c para demostrar que g(x1)+g(x2)>0 basta con demostrar que g(x1)+g(2cx1)>0 para 0<x1<c . Pero esto se deduce del hecho de que la derivada de la función g(x)+g(2cx) resulta ser 8(xc)+ln(x/(2cx)) que es negativo para 0<x<c , mientras que g(c)+g(2cc)=0 .

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Muchas gracias, sigo tu idea, he modificado ligeramente el detalle por el cual puedo obtener una prueba. A saber, la parte en cursiva para mí debe ser leído como: f(x)>f(2cx) para 0<x<c . ¡Genial!

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¡Vaya, qué bonito!

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Gracias. Sí, tu corrección es, bueno, correcta; he editado mi respuesta en consecuencia.

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