Una serie de potencias con coeficientes positivos decrecientes no tiene ceros en el disco

Question

Deje $\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$ ser formal complejo de alimentación de la serie, con $a_n$ estrictamente decreciente a 1 $n\to \infty$. Es fácil ver que el radio de convergencia es 1, por lo que este poder de la serie representa una función $f$ holomorphic en el disco. La pregunta es

Demostrar que f no tiene ceros en el disco.

He estado mirando un rato y sentir y probado un par de cosas diferentes.

$\cdot$ Una fácil observación es la similitud de esta serie con $\frac{1}{1-z}$, cuyos coeficientes no son estrictamente de disminuir, sino que, de lo contrario es un ejemplo de la cosa para ser probado.

$\cdot$ Del teorema de Rouché no parece tener una aplicación inmediata-he probado la comparación de $f$ a $\frac{1}{1-z}$ o a sus sumas parciales por Rouché.

$\cdot$ Si las sumas parciales no tenía ceros, entonces no $f$ por el teorema de Hurwitz

$\cdot$ Si se podía demostrar la función positiva de la parte real nos gustaría, obviamente, se puede hacer, lo que parece muy verosímil-la condición que da ese $f(-1) = \sum a_n \cos\pi n > 0$, pero no sé cómo extender este argumento a los argumentos de otros de $\pi$. Además, si esta técnica fueron a trabajar, parece que podría confiar más en manipulaciones algebraicas de potencia de la serie, y me gustaría enormemente prefieren un complejo clásico metodología analítica (argumento principio, el teorema de Rouché, etc)

Por favor avisar!

Answer 1

Consideremos $f(z) =(1-z)\sum\limits_{n=0}^\infty a_n z^n =a_0+\sum\limits_{n=1}^\infty (a_n-a_{n-1})z^n$. Supongamos $f(re^{i\theta})=0$ para $r\le 1$. Luego se sigue $$ a_0 =\sum_{n=1}^\infty (a_{n-1}-a_n)r^ne^{\theta}, $$por lo tanto $$ a_0=\left|\sum_{n=1}^\infty (a_{n-1}-a_n)r^ne^{\theta}\right|\le \sum_{n=1}^\infty (a_{n-1}-a_n)r^n\le\sum_{n=1}^\infty(a_{n-1}-a_n)=a_0-1, $$ which leads to a contradiction. Since $f$ has no zeros on the unit disk, neither does $\frac{f(z)}{1-z}=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n z^n$.