Integrar$\frac{1}{x\,\log{x}}$ por partes

Question

Una integración indefinida e ingenua de la función $\dfrac{1}{x\,\log{x}}$ se puede realizar de la siguiente manera:

Dejar

$ \begin{eqnarray} I &=& \int\dfrac{dx}{x\,\log{x}}\\ \therefore I &=& \dfrac{1}{\log{x}}\int\dfrac{dx}{x} - \int\left\{\dfrac{d}{dx} \left(\dfrac{1}{\log{x}}\right) \int \dfrac{dx}{x} \right\}dx\\ &=& \dfrac{1}{\log{x}} \cdot \log{x}-\int - \dfrac{1}{(\log{x})^2}\cdot\dfrac{1}{x}\cdot\log{x}\,dx\\ &=& 1 + \int\dfrac{dx}{x\,\log{x}}\\ &=& 1+I \end {eqnarray} $

Esto obviamente lleva a algo como $1=0$ . ¿Alguien por favor me puede decir qué está mal? Gracias por adelantado.

PD. Sé que la respuesta correcta sería $\log(\log{x})$ .

Answer 1

Su conclusión no es correcta.

Solo dice que las dos integrales indefinidas pueden diferir en $1$ , lo cual es un caso especial del hecho de que las antiderivadas pueden diferir en una constante.

Answer 2

Si reemplazas las integrales indefinidas por las definidas, terminas con

$$I=0+I,$ $ que es inofensivo. El diablo es la constante de integración.

Puedes rescatar el razonamiento por escrito.

$$I=\frac{\log x}{\log x}+C+I$$ and you conclude that $ C = -1$ (and there remains another integration constant in $ I $ ).