Estoy tratando de obtener la característica de Euler de este poliedro $P$ que es homeomorfo al toro $T$ (creo):
Así que debería ser $\mathcal{X}(P)=\mathcal{X}(T)=0$ .
Pero tenemos $V=16, F=10, E=24$ Así que $\mathcal{X}(P)=2$ .
Sin embargo, si consideramos una triangulación como este dos casos:
es $\mathcal{X}(P)=0$ porque $V=C=16$ y $E=32$ y $V=16, F=32, E=48$ respectivamente.
Entonces, ¿qué es lo que está mal?
Gracias por el apoyo.
El problema es que tu primera configuración de polígonos utiliza polígonos no simples. añade una sola arista a cada cara en forma de donut y funcionará mejor.
La prueba básica de Cauchy para la fórmula de Euler para la característica requiere que triangulemos los polígonos y aprovecha una propiedad particular de esta triangulación: añadir una sola arista mediante la división de un polígono debe añadir también una sola cara. Esto es cierto para los polígonos simples, sí, pero los polígonos complejos como la forma de donut no tienen esta propiedad: añadir una arista no puede dividir el polígono en dos.
Sí, eso es lo que hago en la primera triangulación, ¿sí? ¿Pero qué significa polígonos no simples? ¿Quizás te refieres a convexos? ¿En qué sentido perturbar una característica de Euler? Como es homeomorfo al toroide, deberían tener la misma característica de Euler, directamente. Gracias.
Sus polígonos en la "parte superior" y "parte inferior" va alrededor del agujero en el toroide. Esto no está permitido ya que entonces no son contraíbles.
Entonces, ¿un poliedro tiene diferentes características de Euler dependiendo de la triangulación? Estoy confuso. Thanks.
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La imagen de la izquierda de la segunda figura es una cuadrangulación, no una triangulación.
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Ok, realmente noto que se puede hacer una triangulación para cualquier polígono convexo.