¿Existe una variedad (en segundo lugar contable, conectada) que admite una acción de grupo continua y fiel por parte de cada grupo finito?
Respuestas
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Sí. Hay un universal finitely presentó el grupo de $G$ que contiene un isomorfo copia de cada finitely presentado el grupo; esto se deduce de Higman la incrustación de teorema. Elija un número finito de generación de conjunto de este grupo, y construir el grafo de Cayley. Elegir un buen incorporación de este gráfico en Euclidiana 3-espacio y regular vecindario $N$; deje $M$ ser el límite de $N$. A continuación, $G$ actos fielmente en un colector de homeomórficos a $M$. Usted puede construir una homeomórficos copia mediante la sustitución de los vértices del grafo de Cayley por las esferas con el doble de tantos agujeros como el número de generadores. Luego coloque un cilindro para cada borde de la esfera correspondiente a la final de los vértices. $M$ es una superficie de infinito género, pero está conectado y 2º contables. Cada grupo finito de los actos por la elección de una incrustación en $G$. Ya que ningún vértice de una esfera fija, excepto por la identidad, $F$ actos fielmente.
Splanky222
Puntos
26
Voy a argumentar que el infinito género superficie, $\Sigma_C$, con el espacio de termina siendo un conjunto de Cantor tiene esta propiedad(creo que una regular árbol infinito, excepto el género).
Deje $\Sigma_g$ ser la superficie de género $g$ e $\mathrm{Sym}_n$ grupo simétrico de a$n$ elementos. No hay un estándar de construcción para mostrar que para cualquier $\mathrm{Sym}_n$ hay un $g$ lo suficientemente grande como para que $\mathrm{Homeo} (\Sigma_g$) que contiene grupos simétricos: considere un grafo de Cayley de a$\mathrm{Sym}_n$, ahora "espesar" hasta la superficie por el "engrosamiento" de cada vértice a un toro, que los bordes se corresponden a conectar suma de dos tori(que conecta con un tubo/del anillo). Ahora una acción en el gráfico se puede convertir en una acción en la superficie que ha sido construido.
El principal hecho(y no es difícil ver en los casos vamos a estar trabajando) es infinita tipo de superficies son, básicamente, clasificados,hasta homeomorphism, por el espacio de los extremos y algunos de género y la punción de la información(ver En la clasificación de noncompact superficies por Ian Richards para más detalle).
En la superficie que hemos construido, elija un pequeño disco en uno de los tori/vértices, y buscar en la órbita de la disco, cortar la órbita y adjuntar una espesa (bajo el mismo proceso que el anterior) infinito arraigada árbol binario. Su grupo todavía actúa en este espacio, donde el grupo toma los árboles que han plantado árboles, y conserva el engrosamiento de Cayley gráfico. Para cada una de las $n$ estas superficies son homeomórficos por la "clasificación de las superficies".
