Voy a tratar de describir brevemente cómo estoy modelar el problema. (Por favor, tenga con la longitud). El consejo de la ecuación que describe la temperatura de un bloque en estado estacionario es
$$\nabla^2 T = 0$$ where $\nabla^2 T = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$ defined on $x \in [0,L] ,y \in [0,l], z \in [0,w]$ Este es prescrito con las siguientes condiciones límite
$\frac{\partial T(0,y,z)}{\partial x}=\frac{\partial T(L,y,z)}{\partial x}=0 \rightarrow Neumann$
$\frac{\partial T(x,0,z)}{\partial y}=\frac{\partial T(x,l,z)}{\partial y}=0\rightarrow Neumann$
$$\frac{\partial T(x,y,w)}{\partial z}=p_h\bigg(T_h - T(x,y,w)\bigg) \rightarrow Convection $$
$$\frac{\partial T(x,y,0)}{\partial z}=p_c\bigg(T_c -T(x,y,0) \bigg)\rightarrow Convection$$
La situación puede ser mejor comprendida a partir de la figura adjunta
Dos fluidos están en contacto térmico con la pared de separación y el flujo perpendicular a cada lado de la pared. Las temperaturas de entrada de ambos fluidos es conocido. En realidad, hay dos diferentes ecuaciones que los rigen como
$\frac{\partial T_h}{\partial x} + \frac{b_h}{L} (T_h - T) = 0\rightarrow T_h=\frac{e^\frac{-b_h x}{L}b_h}{L}\int e^\frac{b_h x}{L}T\mathrm{d}x$
Sabe que : $T_h(0,y,-w)=T_{h,i} \rightarrow $ constante
$\frac{\partial T_c}{\partial y} + \frac{b_c}{l} (T_c - T) = 0 \rightarrow T_c=\frac{e^\frac{-b_c y}{l}b_c}{l}\int e^\frac{b_c y}{l}T\mathrm{d}y$
Sabe que: $T_c(x,0,0)=T_{c,i} \rightarrow $ constante
Así,las cantidades $T_h$ e $T_c$ ahora puede ser sustituido en el original últimos dos condiciones de contorno. Por ejemplo, la última bc ahora parecen
$\frac{\partial T(x,y,0)}{\partial z}=p_c\bigg(\frac{e^\frac{-b_c y}{l}b_c}{l}\int e^\frac{b_c y}{l}T\mathrm{d}y -T(x,y,0) \bigg)$
Por lo tanto, esto se convierte en un Robin tipo de condición en la cual todos los términos en el LHS y RHS son funciones de la $T$ (que no es análogo a cualquier ejemplo que he encontrado en los libros de texto, donde b.c. suelen tener un flujo libre de la temperatura definida)
Después de la aplicación de separación de variables, cuando trato de una solución de la forma (después de dividir el problema en sub-problemas y la adopción de una no-homogéneo.b.c. en un momento)
$T(x,y,z)=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}A_{n,m}\cos(\frac{n\pi x}{L})\cos(\frac{m\pi y}{l})\cosh\left(\sqrt{\frac{n^2\pi^2}{L^2}+\frac{m^2\pi^2}{l^2}}z\right).$
Al final, el coeficiente de Fourier $A_{m,n}$ (después de la aplicación de ortogonalidad) acaba de cancelar.
¿Hay algo de malo en la forma en que estoy modelando matemáticamente esto ? Puede alguien sugerir algunas alternativas de enfoque hacia el manejo de tales condiciones de contorno ?
Intento 1
Uno de los sub-problemas con Neumann homogéneas en todas las caras y las homogénea AC $\frac{\partial T(x,y,0)}{\partial z}=p_c(T_c -T(x,y,0) )$ . Como por Dylan la sugerencia de este B. C. toma la forma
$$\frac{\partial T(x,y,0)}{\partial z} = p_c\bigg(e^{-b_cy/l}\left[T_{ci} + \frac{b_c}{l}\int_0^y e^{b_cs/l}T(x,s,z)ds\right] - T(x,y,0)\bigg) $$
Sobre el uso de la forma de la solución se mencionó anteriormente, al final de la ecuación que debe ser resuelto por el coeficiente de Fourier $A_{n,m}$ resulta ser
$$ 0 = p_cT_{ci} e^{\frac{-b_c y}{l}} + \sum \sum A_{n,m} (p_c b_c) \cos(\frac{n\pi x}{L})\frac{\bigg( b_c \cos(\frac{m\pi y}{l}) + m \pi \sin(\frac{m\pi y}{l}) - b_c e^{-\frac{b_c y}{l}} \bigg)}{b_c^2 + (m \pi)^2} - \sum \sum A_{n,m} \cos(\frac{n\pi x}{L}) \cos(\frac{m\pi y}{l}) $$
En teoría, debido a la presencia de un término con el no $A_{n,m}$, el problema de la $A_{n,m}$ cancelación desaparece. Ahora, estoy supone que el uso de ortogonalidad para deducir esta constante. Lo que está molestando aquí es la presencia de $e^{\frac{-b_c y}{l}}$. Cómo es la ortogonalidad de las funciones trigonométricas debe ser aplicada aquí ?
Intento 2
En lugar de utilizar la solución de forma mencioné anteriormente, ahora se utiliza:
$T(x,y,z)=\sum_{m,n=1}^{\infty}T_{nm}(z)\cos(\frac{n\pi x}{L})\cos(\frac{m\pi y}{l}).$
donde $T_{nm}(z)$ es la indeterminación $z$ función. Sustituyendo esta expresión en $\nabla T^2 =0$, puedo obtener
$T_{nm}(z) = A_{nm}^{+}e^{\gamma z} + A_{nm}^{-}e^{-\gamma z} $ donde $\gamma^2 = {(\frac{n\pi}{L})^2 + (\frac{m\pi}{l})^2 }$. Ahora, los coeficientes indeterminados se $A_{nm}^{+},A_{nm}^{-}$ que necesita ser determinada utilizando la $z$ condiciones de contorno. De ahora en adelante, el uso de la $z=0$ AC (el mencionado en 1 Intento), puedo obtener
$$ \frac{1}{p_c}\sum_{n,m=1}^\infty \cos(\frac{n\pi x}{L})\cos(\frac{m\pi y}{l})\gamma ( A_{nm}^{+} - A_{nm}^{-}) = e^{-\frac{b_c y}{l}}T_{ci} + U + V - S - T $$
donde $$U =\sum_{n,m=1}^\infty ( A_{nm}^{+} + A_{nm}^{-}) \frac{(b_c)^2}{(b_c)^2 + (m\pi)^2} \cos(\frac{n\pi x}{L})\cos(\frac{m\pi y}{l}) $$
$$V = \sum_{n,m=1}^\infty ( A_{nm}^{+} + A_{nm}^{-}) \frac{b_c m\pi}{(b_c)^2 + (m\pi)^2} \cos(\frac{n\pi x}{L})\sin(\frac{m\pi y}{l})$$
$$S = \sum_{n,m=1}^\infty ( A_{nm}^{+} + A_{nm}^{-}) \frac{(b_c)^2}{(b_c)^2 + (m\pi)^2} \cos(\frac{n\pi x}{L}) e^{\frac{-b_c y}{l}} $$
$$T = \sum_{n,m=1}^\infty ( A_{nm}^{+} + A_{nm}^{-})\cos(\frac{n\pi x}{L})\cos(\frac{m\pi y}{l})$$
Posteriormente, tendría que utilizar la $z=w$ AC para obtener otra ecuación en la $A_{nm}^{+}, A_{nm}^{-}$.
Mis preguntas
(1) Lo que he podido averiguar hasta ahora es cómo mitigar el término exponencial, mientras que el uso de ortogonalidad?
(2) También, mientras que el uso de ortogonalidad, el término constante ($T_{ci}$) obtendría multiplicado por $\int_{0}^{L}\cos(\frac{k\pi x}{L})$ e $\int_{0}^{l}\cos(\frac{j\pi y}{l})$. No quiero que acaba de hacer este término cero ?
La transformada de Fourier de Expansión de $e^{\frac{-b_c y}{l}}$
$$e^{\frac{-b_c y}{l}} = \frac{1}{b_c}\bigg(1-\frac{e^{-b_c}}{b_c}\bigg) + \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{l(\frac{b_c^2}{l^2}+n^2)} \bigg( e^{-b_c}\bigg(n\sin(nl)-\frac{b_c}{l}\cos(nl)\bigg)+\frac{b_c}{l}\bigg) + \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{l(\frac{b_c^2}{l^2}+n^2)} \bigg( e^{-b_c}\bigg(n\cos(nl)-\frac{b_c}{l}\sin(nl)\bigg)+n\bigg)$$
Es este ahora se supone que para ser sustituido por $e^{\frac{-b_c y}{l}}$ en la expresión original que consiste en $A_{nm}$?
