¿Cuál es la conexión de la secuencia 3, 4, 5/3, 2/3, 1 con profundidad temas?

Question

Cita de Don Zagier (Matemáticos: Vista Exterior del Mundo Interior):

"Me gusta explícita, las manos-sobre las fórmulas. Para mí tienen una belleza propia. Se puede ser profundo o no. Como ejemplo, imagine que usted tiene una serie de números tales que si se agrega 1 a cualquier número que se obtiene el producto de su derecha e izquierda de los vecinos. A continuación, esta serie se repite en cada quinto paso! Por ejemplo, si comienzas con 3, 4, a continuación, sigue la secuencia: 3, 4, 5/3, 2/3, 1, 3, 4, 5/3, etc. La diferencia entre un matemático y un nonmathematician no es sólo ser capaz de descubrir algo como esto, pero para la atención al respecto y a tener curiosidad acerca de por qué es verdad, qué significa, y qué otras cosas en matemáticas puede estar conectado con. En este caso particular, la declaración en sí resulta ser conectado con una miríada de profundidad temas avanzados de matemáticas: geometría hiperbólica, algebraica de K-teoría, la ecuación de Schrödinger de la mecánica cuántica, y ciertos modelos de la teoría cuántica de campos. Me parece que este tipo de relación entre muy elemental y muy profundo de las matemáticas abrumadoramente hermosa."

La recursividad se describe aquí es un(n+1)=(1+a(n))/a(n-1) con un(0)=1, a(1)=3. Es bastante sencillo, por cada positivo(0),a(1) la secuencia se repite después de 5 pasos (y(0)=a(1)=proporción áurea es un punto fijo). También se puede pensar de esta recursividad como el plano mapa f(x,y)=((1+x)/y,x), y cada punto en el plano es un período de 5 puntos de este mapa.

Entonces, ¿cuál es la conexión con el profundo de los temas incluidos en el presupuesto?

Answer 1

Geometría hiperbólica / algebraica de K-teoría debe significar que la $(1+x)/y$ y su recorre aparecen en las ecuaciones funcionales de uno de los dilogarithm funciones (Abel relación o similar). No es un 5-plazo funcional de la ecuación con algunos cíclica de la simetría.

Modelos de QFT puede referirse a la "pentágono relación" de integrable modelos. Esto refleja de nuevo la orden de 5 de propiedad.

[añadido:]

Esto parece ser lo que Zagier estaba señalando. De vuelta en la década de 1990,

ADE funcional dilogarithm identidades y modelos integrables F. Gliozzi, R. Tateo http://xxx.lanl.gov/abs/hep-th/9411203

formulado de un funcional de la ecuación de la generalización de algunas identidades para el Rogers dilogarithm evaluados en las raíces de la unidad. El último identidades se sabe que corresponden a la torsión en $K$-teoría de los campos (ver papeles de Frenkel y Szenes en dilogarithm identidades, también a principios y mediados de los 90, en arxiv, incluyendo pruebas de Gliozzi-Tateo fórmulas y algunos comentarios sobre la $K_3(\mathbb{C})$).

En la página 4-5 de que el documento se señala que el 5 veces periodicidad viene de una inspección de la simetría cíclica de Abel 5-plazo funcional de la ecuación de la Rogers dilogarithm. Si los términos son numeradas correctamente, a continuación, $(1+x)/y$ es el generador de esta simetría. La periodicidad de esta transformación fue probablemente observado hace unos 200 años.

Clúster de álgebras apareció más tarde y siempre que la tecnología de la prueba (entre otras muchas cosas) más general de la periodicidad de las conjeturas de integrar los modelos de QFT, volver a los documentos anteriores de Zamolodchikov. Sin embargo, la conexión de este período-5 de transformación para la dilogarithm es probablemente más fácil de ver en el Gliozzi/Tateo papel por encima. K-teoría y geometría hiperbólica no tienen ningún conocido directa conexión con el clúster de álgebras, aunque estos últimos están relacionados con la triangulación de polígonos y esto es a veces conectado a hiperbólico de 2 y 3 dimensiones de la geometría.

Answer 2

Google "clúster de álgebra", por ejemplo, ver este artículo Combinatoria interpretaciones para la clasificación del clúster de dos álgebras de afín tipo.