Aplicación de la energía y la conservación del impulso al problema de tirar una alfombra doblada a una velocidad constante

Question

Considere la posibilidad de este sistema.

Un largo, delgado y flexible de la alfombra se coloca sobre una planta. Uno de los extremos de la alfombra se inclinó hacia atrás y, a continuación, tira hacia atrás con velocidad constante $v$, justo por encima de la parte de la alfombra que todavía está en reposo en el suelo. ¿Cuál es el mínimo de fuerza necesaria para tirar de la parte móvil si la alfombra tiene una masa de $m$ por unidad de longitud?

Tres enfoques diferentes de plomo para 2 valores diferentes para la mínima fuerza: $\frac{mv^2}{4}$ e $\frac{mv^2}{2}$. Cuáles son correctas? ¿Cómo funciona la energía y el impulso de la conservación de suceder en este sistema?

Creo que la respuesta correcta a esta pregunta podría ser útil para el público en general y por motivos pedagógicos, ya que aborda un cierto error que suele hacer la gente en problemas similares.

Mi esfuerzo en responder a la pregunta. Tengo la respuesta $\color{blue}{F_{\text{min}}=\frac{mv^2}{4}}$. A continuación doy análisis detallado de por qué esto es así. Mi solución está en acuerdo con la conservación de la energía y de explicar por qué la energía se conserva. También una explicación puramente dinámico consideraciones es dada por el cálculo de la tensión de la alfombra en la flexión de la región.

El primer intento. Vamos a considerar cómo los nuevos elementos de la alfombra se ponen en movimiento.

Este aumento no se produce abruptamente por un idiota, para que la energía no se disipa. Para ver esto consideremos una rueda se mueve sobre una superficie plana sin deslizamiento con velocidad constante $v/2$. Si vamos en la dirección de las agujas del reloj desde el punto más bajo de la rueda, entonces la velocidad de los puntos de la circunferencia aumentar gradualmente de $0$ a $v$ en el punto más alto, luego disminuir gradualmente a $0$ en la segunda mitad. Esto es bien sabido, no haciéndose movimiento sucede.

Del mismo modo que el hecho de que la energía se conserva una rueda de rodadura sin deslizamiento de la energía se conserva en el caso de la alfombra también: el trabajo realizado por la fuerza de tracción $F\cdot 2L$ se convierte en energía cinética de la alfombra $mLv^2/2$: $F\cdot 2L=mLv^2/2$, lo $F_{\text{min}}=mv^2/4$.

Segundo intento. Se podría objetar que la flexión de la alfombra no es circular. De hecho, en el anterior razonamiento, esto no importa. Pero vamos a mostrar esto no importa en otro contexto también mediante el cálculo de la tensión de la alfombra en la flexión de la región.

Suponemos que la curvatura de la curva tiene la misma forma constante en todo momento. Cuando se ve en el marco de referencia en movimiento con velocidad de $v/2$ en la dirección de la fuerza externa $F$ esta flexión curva parece inmóvil. En este marco de referencia de la alfombra 'flujos' a lo largo de esta curva con rapidez constante $v/2$.

Ahora considere la posibilidad de un cierto elemento de esta curva. Deje $R$ ser el radio de curvatura, $\phi\ll 1$ - el ángulo que este elemento es visto desde el centro de curvatura. La longitud del elemento y su masa es $mR\phi$. La tensión si la alfombra $T$ le da a este elemento de la aceleración centrífuga $\frac{v^2}{4R}$:

$$ T\cdot \phi=mR\phi\cdot \frac{v^2}{4R} $$

Por lo tanto $T=\frac{mv^2}{4}$ independiente de la curvatura.

Ahora llegamos a la se requiere una fuerza mínima que se necesita para tirar de la final de la alfombra con velocidad constante $v$: $F_{\text{min}}=T=mv^2/4$.

Es este análisis de acuerdo con la conservación del momento? Hay dos fuerzas que actúan sobre la alfombra como un todo en el horisontal dirección: la fuerza de tracción $F$ y la fuerza de fricción del suelo $F_{fr}$. Si la alfombra no se desliza por el suelo, a continuación, $F_{fr}=T=mv^2/4$. $F_{fr}$ actúa en la misma dirección que la fuerza de tracción $F$. Estas dos fuerzas combinadas dan la alfombra el impulso $mLv$: $$(F+F_{fr})\cdot \frac{2L}{v}=(mv^2/4+mv^2/4)\cdot 2L/v=mLv$$ como se requiere.

Tercer intento. Esto es tomado de el libro https://www.amazon.com/200-Puzzling-Physics-Problems-Solutions-ebook/dp/B00E3UR79U . Ellos obtener respuesta diferente de los dos enfoques anteriores: $\color{red}{F_{\text{min}}=\frac{mv^2}{2}}$. También hacen una conclusión a partir de esto que la mitad del trabajo hecho por la fuerza de tracción es disipada como calor.

(Solución en el libro. Ellos asumen $m=1$, $L=1$.) "Parece tentador tratar de encontrar el mínimo de fuerza necesaria mediante la conservación de la energía, es decir, $F \cdot 2L = mv^2 /2$, donde $L$ es la longitud de la alfombra, ($L = 1$). El resultado sería la $F =1/4$ , que es solo la mitad del valor calculado anteriormente. El error en este argumento es ignorar el continuo inelástica de las colisiones que se producen cuando la parte móvil de la alfombra es de sacudidas de la siguiente pieza en movimiento. La mitad de la obra pasa a la energía cinética de la alfombra, pero la otra mitad es disipada en forma de calor." (Cita del libro)

Answer 1

No podemos utilizar $$F=v\frac{\text d m}{\text d t}+m\frac{\text d v}{\text d t}$$ como se explica aquí. La manera correcta de acercarse a esta ecuación es $$F+u\frac{\text d m}{\text d t}=m\frac{\text d v}{\text d t}$$ donde $u$ es la velocidad del cambio de masa en relación al objeto cuya masa está cambiando.

Por lo tanto, podemos modelar este sistema como algo parecido a una línea de masas, donde se experimenta una fuerza externa neta $F$ y la misa es agregado a una tasa constante $\frac{\text d m}{\text d t}$ con la velocidad relativa se $u$. En este caso, a continuación, $$F=-u\frac{\text d m}{\text d t}+m\frac{\text d v}{\text d t}$$

Para nosotros, esto se convierte en $F=-u\dot m$ para la sección superior, desde su centro de masa se mueve a una velocidad constante.

Ahora vamos a tratar de algo que necesita ser considerado... ¿Qué es $F$? Bueno, es la fuerza externa que actúa sobre la sección superior de la alfombra. Esto implicará la fuerza aplicada, así como una fuerza que actúa en el otro extremo de la alfombra (ya que no hay una restricción de la fuerza causando la sección inferior para que no se mueva).

Para determinar la restricción de la fuerza, echemos un vistazo a la alfombra como un todo al ver cómo su centro de masa se comporta. La masa y el centro de la parte superior se $$m_U=\frac12\lambda x$$ $$c_U=\frac12\left(\frac12x\right)+\frac12x=\frac34x$$ y para la parte inferior $$m_L=\frac12\lambda\left(L-\frac12x\right)$$ $$c_L=\frac12\left(L-\frac12x\right)+\frac12x$$ donde $\lambda$ es la densidad de masa lineal de la alfombra. El centro de masa de la totalidad de la alfombra es el dado por $$c=\frac{m_Uc_U+m_Lc_L}{\lambda L}=\frac{x^2}{4L}+\frac L2$$

Podemos usar esto para determinar la fuerza neta sobre el sistema: $$\dot c=\frac 1{2L}x\dot x$$ $$\ddot c=\frac 1{2L}\dot x^2$$ donde $\dot x=v$ es constante. El total de la fuerza neta sobre la totalidad de la alfombra se está dada por $$F_{net}=M\ddot c=\frac 1{2L}Mv^2$$

Esto significa que si se aplica una fuerza de $F_{app}$ que la restricción de la fuerza que actúa a la izquierda está dada por $$F_{con}=\frac 12\lambda v^2-F_{app}$$

Ahora, suponiendo que la tensión en la alfombra transferencias a la parte superior de la sección, debe ser que, en la primera parte de la respuesta, $$F=F_{app}-F_{con}=2F_{app}-\frac12\lambda v^2$$ Además, el extremo izquierdo de la alfombra se mueve a una velocidad $\frac12v$, pero desde el centro de masa de la sección superior se mueve a una velocidad de $\frac34 v$, obtenemos $-u=\frac14 v$ por lo que la ecuación en el comienzo de esta respuesta se convierte en $$F=2F_{app}-\frac12\lambda v^2=\frac14v\dot m$$

Ahora, $\dot m$ de la parte superior es igual a $\frac{\text d}{\text d t}\lambda \left(\frac12 x\right)=\frac12\lambda v$, por lo tanto $$2F_{app}=\frac12\lambda v^2+\frac14v\cdot\left(\frac12\lambda v\right)$$

o $$F_{app}=\frac5{16}\lambda v^2$$

Ahora, esto no contradice la respuesta, pero creo que las soluciones están equivocadas por ciegamente el uso de $F=\dot p$ sin considerar lo $F$ realmente lo es o cómo tratar a los sistemas de masa variable.

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En términos de conservación del momento y la conservación de la energía, es un poco complicado. La conservación del momento ya está al cuidado de la primera ecuación por considerar cómo el impulso de la transferencia tiene lugar cuando la masa se agrega. Como para la conservación de la energía, todavía estoy pensando, porque estoy seguro de cómo se $W=\Delta K$ trabaja con sistemas de masa variable, pero de seguro que usted necesita considerar estas cosas, donde digamos que la configuración final es cuando $x=2L$, que parece ser lo que usted está haciendo en su pregunta.

1) Cada fuerza en la parte superior se actúa sobre una distancia diferente (fuerza aplicada actúa a través de la distancia $2L$ mientras que el de la restricción de la fuerza que actúa sobre una distancia de $L$). Por lo tanto, $$W=2F_{app}L-F_{con}L=2F_{app}L-\left(\frac 12\lambda v^2-F_{app}\right)L=3F_{app}L-\frac12\lambda Lv^2$$

2) Cada parte de la sección superior se mueve a una velocidad diferente, así que para encontrar la final total de energía cinética tiene que cuidadosamente configurar una integral. Para una pequeña masa del elemento $\text dK=\frac12\text dmv'^2=\frac12\lambda v'^2\text d x'$ donde imprimación de valores son aquellas que se aplican a la sección específica de la alfombra.

La velocidad de $v'$ como una función de la $x'$ está dado por $v'=\frac v{2L}x'$ y, al final de nuestro escenario, se define por $x'$ entre $L$ e $2L$. Por lo tanto $$K=\int_{L}^{2L}\frac{\lambda v^2}{8L^2}x'^2\ \text d x'=\frac7{24}\lambda Lv^2$$ Nota: esta parte es para asegurarse de la correcta. No depende de lo que estamos suponiendo acerca de las fuerzas.

La equiparación de la parte 1 y la parte 2 obtenemos $$3F_{app}L-\frac12\lambda Lv^2=\frac7{24}\lambda Lv^2$$ o $$F_{app}=\frac{19}{72}\lambda v^2$$ el que no está de acuerdo con la respuesta anterior tenemos. Sospecho que esto es porque yo no soy de tratamiento de la energía aquí. O (y esto es una gran o que invalida la mayoría de los trabajos aquí), me han hecho enormes errores por no tratar a la restricción de la fuerza correctamente o no aplicando $F=\dot p$ correctamente con la adición de la masa de alguna manera.

Answer 2

El libro de reclamaciones que usted encontraría la respuesta incorrecta si el uso de "la" ecuación de la energía $\Delta E = \frac {m v^2} {2} $ sobre la parte móvil de la alfombra, que es de todos modos sólo válido para un cuerpo de masa constante y la velocidad de cambio. La correcta ecuación de la energía para un cuerpo de cambio de la masa y la constante de velocidad (relativa a una fuente estacionaria) es

$$ \Delta E = \int F_ {ext}\cdot dl = \int v_{cm} \frac {d m} {dt}\cdot v_{cm} dt = v_{cm}^2\int\frac {dm} {dt}\cdot dt = v_{cm}^2\, \Delta m, $$

donde puedo cambiar las variables de $dl = v_{cm} \, dt$ y tomó el (constante) velocidad fuera de la integral.

Observe que no hay ningún factor de $1/2$. Aquí, $F_ {ext}= v_{cm} \frac{dm}{dt}$ (derivados en @Aaron respuesta) implica a todas las fuerzas externas en la parte superior (en movimiento) de la sección de la alfombra y $v_{cm}$ es la velocidad de su centro de masa*.

La fuerza total sobre el conjunto de la alfombra es de $0$, debido a que su centro de masa se mueve a velocidad constante. La fricción estática es, por tanto, igual y opuesta a la fuerza de tracción.

Ahora, al centrarse sólo en la parte superior de la alfombra, hay dos fuerzas en cada extremo: uno es la fuerza de tracción $F$ en el extremo libre y el otro es la acción de la fuerza de fricción (también se $F$) de la parte inferior empujando en el punto de flexión. Por lo tanto $F_ {ext} = 2 F$. Tenga en cuenta que descuidar la fricción daría lugar a una dinámica diferente (como se hacía en el que se hace referencia libro) y la respuesta equivocada.

Este tratamiento es equivalente a su segundo intento, que resultó de conservación del momento. Aquí le proporcionará el análisis usando la conservación de la energía.

El centro de masas del movimiento porción va de $0$ a $\frac{3L}{2}$, por lo que su velocidad es $v_{cm} = \frac{3v}{2}$. Luego, por la conservación de la energía $$2 F \frac{3L}{2} = (\frac{3v}{2})^2 m.$$ Therefore $F = \frac{3 v^2 m}{4L}$.

*: Voy a subrayar que la fuerza total que actúa para cambiar el centro de la masa y no en la punta de la velocidad de un objeto. En el libro de texto estándar ejemplo de que el cohete está siendo impulsado por una expulsión de gas, el cohete, a diferencia de la cuerda, no cambia de forma, por lo tanto, esta distinción es descuidado.

Answer 3

En el primer diagrama se escribió

la velocidad aumenta a partir de la $0$ a $1$.

Si esto ocurría, a continuación, la alfombra debe ser el estiramiento en la parte curva de la región.

Debido a la rueda de rotación de la llanta de la rueda tiene una velocidad de $v$ y si la alfombra no es el deslizamiento relativo a la rueda, a continuación, la velocidad de la alfombra debe cambiar de cero a $v$ en la región del punto de contacto de la alfombra/de la rueda con el suelo.
Aquí es donde el inelástica "sacudidas", impulsivo fuerza que actúa sobre una pequeña sección de la de la alfombra se produce en el diagrama.