Calcular el grupo fundamental.

Question

Sea X el cociente de$S^1 \times [0,1]$ por la identificación$(x,y) \sim (e^{2\pi i/3}x,y), y \in \{0,1\}$. ¿No es solo una rotación de la parte superior e inferior del cilindro en el mismo grado? ¿No debería el grupo fundamental ser el grupo fundamental del cilindro?

Edit: No debería ser el grupo fundamental del cilindro ya que no es la rotación. Identifica cada tres puntos en el círculo superior e inferior del cilindro.

Answer 1

Use Seifert-van Kampen en el par de conjuntos abiertos$U = S^1\times[0,1)/{\sim}$ y$V = S^1\times(0,1]/{\sim}$ que cada deformación retrae en un círculo, pero cuya intersección tiene un generador de$\pi_1$ que se asigna a$3$ de un generador bajo la inclusión en cualquiera de estos subespacios. Te dejo los detalles a ti.