Quiero mostrar que no hay un entero con dígitos de solo$0$ y$1$ que tiene al menos dos$1$ y es un número cuadrado completo. Intenté probarlo por inducción, pero no pude.
Respuesta
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ajotatxe
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No una respuesta, sólo un montón de condiciones necesarias. Así que digamos que $N$ tiene sólo ceros y unos, es un cuadrado, pero no un poder de $10$:
- Si no existe tal número, entonces existe uno que termina con $1$. De hecho, si $N$ termina en cero, entonces debe haber un número par de ceros a la derecha. Si usted los quita, el resultado debe ser un cuadrado perfecto. A partir de ahora, suponga que $N$ termina con $1$.
- $\sqrt N$ termina con $1$ o $9$, y comienza con $3$ o $1$.
- El número de unos, $k$, es congruente a $N$ modulo $9$. A continuación, $k$ debe ser un cuadrado modulo $9$. Que es $k\equiv 0,1,4\text{ or }7\pmod 9$.
- El penúltimo dígito es $0$, debido a $11$ no es un cuadrado modulo $100$.
- $\sqrt N\equiv \pm1\pmod{50}$ (gracias a Thomas Andrews).
Voy a editar esta "respuesta" si puedo encontrar más de ellos.
Una heurística de razonamiento: la probabilidad de que un número en la mayoría de los $n$ dígitos tiene sólo unos y ceros es $1/5^n$. Y que es un cuadrado perfecto es $1/10^{n/2}$. Suponiendo que los dos eventos son independientes, la probabilidad de que ambas condiciones para el mismo número de es $1/(5\sqrt{10})^n$, que es menor que $1/10^n$. Así que... probablemente, la respuesta es no.
