Probar que cada isometría en$\mathbb{R}^2$ es biyectivo

Question

Deje$d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}$ para$x=(x_1,x_2), y=(y_1,y_2)$.
Una isometría de$\mathbb{R^2}$ es una imagen$f:\mathbb{R^2}\to\mathbb{R^2}:d(x,y)=d(f(x),f(y))$. Demostrar que toda isometría es biyectiva. No sé por dónde empezar, ¿alguna pista?

Answer 1

Deje $ABC$ ser el triángulo con vértices $(1,0)$, $(0,1)$, y $(0,0)$. Deje $f$ ser una isometría como se define en el post. Supongamos $f$ toma $A$, $B$, y $C$ a $A'$, $B'$, y $C'$.

Hay una combinación de $\phi$ de rotación y/o de la reflexión y/o la traducción que se lleva a $ABC$$A'B'C'$. A continuación, $\phi^{-1}\circ f$ es una isometría como se define en el post. Tenga en cuenta que las hojas $A$, $B$, y $C$ fijo.

Dado un punto desconocido $P=(x,y)$, si conocemos las distancias de $P$ a $A$, $B$, y $C$, sabemos $x$$y$. Desde $\phi^{-1}\circ f$ correcciones $A$, $B$, y $C$, es la identidad. Por lo tanto $f=\phi$.

Rotaciones, reflexiones, y las traducciones son surjective, y por lo tanto $f$ es.

Answer 2

Puede mostrar que cada isometría en un espacio hilberts de dimensión finita es afín lineal. Entonces, con el hecho de que cada isometría es inyectiva, se obtiene la bijección.

Answer 3

Si asume$f(0) = 0$, en el caso de$2$ - dimensional, puede mostrar su capacidad de reacción observando que los círculos se asignan a sí mismos:

Para cualquier$x ∈ ℝ^2$ con$\lVert x \rVert = r$, ya que$d(f(x)),0) \overset{f(0) = 0}{=} d(x,0) = r$, tiene$f(rS_1) \subseteq rS_1$.

Ahora puede mostrar que un mapa continuo inyectivo$f \colon S_1 → S_1$ es biyectivo:

Dado que$S_1$ es compacto y$\operatorname{img}(f) \subseteq S_1$ es hausdorff,$f$ se asigna homeomorfamente a$\operatorname{img}(f)$. Si$\operatorname{img}(f) ≠ S_1$, diga$a \notin \operatorname{img} (f)$, entonces, como un espacio conectado, es homeomórfico a un intervalo desde$\operatorname{img}(f) \subseteq (S_1\setminus\{a\}) \underset{ae^{2πit}}{\cong} (0..1)$, lo cual es una contradicción.

Answer 4

Para probar que es inyectivo, quiere mostrar que si$f(x)=f(y)$, entonces$x=y$.

Si$f(x)=f(y)$, entonces, ¿qué es$d(f(x),f(y))$? ¿A qué es igual$d(x,y)$? ¿Qué puedes decir acerca de$x$ y$y$?