¿Evaluando límites?

Question

Para$x>0$, $$ \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ left [\ sin (x) ^ {\ frac {1} {x}} + \ left (\ frac {1} {x} \ right ) ^ {\ sin (x)} \ right]$$These are two forms of $ 0 ^ \ infty$ and $ \ infty ^ 0 $. Sé que estos deben evaluarse por separado y luego agregarse. Pero, ¿cómo empiezo?

Answer 1

En primer lugar, comenzar con $$a^b=e^{b\cdot \ln(a)}$$ (esta es la definición de $a^b$$a>0$).
y porque de la $e$ función es continua $$\lim e^{x_n}=e^{\lim x_n}$$ Esto es debido a la secuencia de definición o prueba para funciones continuas, una función de $f$ es continua si para cada secuencia convergente $x_n$ $$ \lim_{n\rightarrow \infty} f(x_n)=f(\lim_{n\rightarrow \infty} x_n)$$ Ya que ambos plazo mayor o igual que podemos comprobar el primero, y luego el segundo. $$\sin(x)^\frac{1}{x}=e^{\ln(\sin(x))\cdot \frac{1}{x}}$$ Debido a que es continuo a lo comprobamos $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(\sin(x))}{x}$$ Como tenemos un $\frac{-\infty}{\infty}$ expresión aquí, podemos usar L'hospital $$\lim_{x\rightarrow 0 } \frac{\ln(\sin(x))}{x}=-\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\cos(x)}{\sin(x)}=-\infty$$ (the $-$ must be there because $\ln(\sin(x))<0$ as $x\rightarrow 0$
Y debido a que $$\lim_{x\rightarrow - \infty} e^{x}=0$$ el primer término se desvanece.

El segundo Término se maneja como este: $$\left(\frac{1}{x}\right)^{\sin(x)} = e^{\ln\left(\frac{1}{x}\right) \sin(x)}$$

Ahora $$\ln\left(\frac{1}{x}\right) \cdot \sin(x)=\frac{\ln\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{\sin(x)}}$$ con L'hospital $$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\ln\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{\sin(x)}}= \lim_{x\rightarrow 0} \frac{x}{\cos(x)}=0 $$ así que el segundo término es $e^0$ por lo que el límite es de 1.

Answer 2

Tenga en cuenta que$0^{\infty}$ no es una forma indeterminada. Luego,$$\lim_{x \rightarrow 0^+} \left[ \sin(x)^{\frac{1}{x}}+\left(\frac{1}{x}\right)^{\sin(x)}\right]=\lim_{x \rightarrow 0^+} \left(\frac{1}{x}\right)^{\sin(x)}=\lim_{y \rightarrow +\infty}y^{\sin(1/y)}=\lim_{y \rightarrow +\infty}(y^{1/y})^{y\sin(1/y)}=1$ $ El otro límite para$0^-$ es el infinito complejo.