Si$X$ y$Y$ son portadas etales finitas entre sí, ¿son isomorfas?

Question

Esta es una forma un tanto extraña pregunta tal vez, pero me preguntaba lo siguiente:

Supongamos $X$ $Y$ son esquemas (digamos Noetherian, integral y así si te gustaría). Supongamos que hay mapas de $f: Y \rightarrow X, g: X \rightarrow Y$ que dan cuenta de $Y$ como finito etale cubierta de $X$, y viceversa. De lo anterior se sigue que el $X$ $Y$ deben ser isomorfos?

Yo sería feliz con cualquier resultado a lo largo de estas líneas. Es decir, si no es siempre cierto, existen buenos situaciones donde es? Saber sobre el caso donde $X, Y$ se supone afín estaría muy bien también.

Answer 1

Esto es solo un comentario, pero no tengo la reputación suficiente todavía.

Es cierto compacto curvas hiperbólicas (=suavizar las curvas de género al menos dos) por razones triviales. De hecho, si $X\to Y$ es finita etale de morfismos de compacto curvas hiperbólicas de grado $d$ $Y\to X$ es finita etale de morfismos de grado $e$ obtenemos que $$2g_X -2 = (2g_Y-2)d = (2g_X-2)dd^\prime.$$ This implies that $dd^\prime =1$ and thus $d=d^\prime = 1$.

De manera más general, el enfoque anterior, se muestra el siguiente. Supongamos que $f:X\to Y$ es finito etale y $g:Y\to X$ es finito etale, donde $X$ $Y$ son suaves variedades proyectivas. Entonces, el "Riemann-Hurwitz fórmula" implica que $$K_X = f^\ast K_Y = f^\ast g^\ast K_X = (gf)^\ast K_X.$$ Maybe this implies that $K_X$ is torsion, but I'm not sure. Of course, I'm assuming $\deg g, \ ° f>1$.

Podría ser más natural a considerar el isomorfismo $(gf)^\ast \Omega^1_X \to \Omega^1_X$. Usted puede calcular la característica de Euler de $X$ $Y$ tomando el $n$-ésima clase de Chern ( $n=\dim X=\dim Y$ ) y, a continuación, puede ver que la característica de Euler de $X$ (e $Y$) es cero (si el de arriba surjective mapa es un isomorfismo).