¿Qué tipo de distribución produciría rand () / rand ()?

Question

Si rand () es una función que produce un número aleatorio distribuido linealmente en un rango que no contiene cero, ¿qué tipo de distribución produciría rand () / rand ()?

Sé que se centraría en 1, y habría algunos valores extremos muy cercanos a cero o muy grandes.

¿Este tipo de distribución aleatoria tiene un nombre?

Answer 1

Si el intervalo es $(a,b)$, a continuación, busque en la plaza de la $U=(a,b)\times(a,b)$. Si $\frac{b}{a}\geq z\geq 1$, entonces el subespacio de $U$ tal que $x/y>z$ es sólo un triángulo inferior derecho de la $U$, al pasar de $(az,a)$$(b,a)$%#%. Esto tiene área igual a $(b,\frac{b}z)$. Así que si $\frac{(b-az)(\frac{b}z - a)}2 = \frac{(b-az)^2}{2z}$, entonces la distribución debería ser$g(z)=p(x/y>z) = \frac{(b-az)^2}{2z(b-a)^2}$$-g'(z)$.

Esto da una distribución de $z>1$$\frac{\frac{b^2}{z^2}-a^2}{2(b-a)^2}$.

Para $z\geq 1$, podemos hacer un cálculo similar para demostrar que:

$\frac{a}{b}<z\leq 1$$

La derivada nos da la distribución de estos $$p(\frac{x}{y}<z) = \frac{(bz-a)^2}{2z(b-a)^2}$, por lo que el valor es:

$z$$

Así, el resultado es: $$\frac{b^2-\frac{a^2}{z^2}}{2(b-a)^2}$$ y $$\frac{b^2-\frac{a^2}{z^2}}{2(b-a)^2}\text {when }\frac{a}b \leq z\leq 1$$

Answer 2

Deje $U_1$ ser una variable aleatoria uniforme con el dominio$[a,b]$$b>a>0$, y deje $U_2$ ser otro idénticamente distribuidas independiente uniforme variable.

Deje $X= \frac{U_1}{U_2}$. Está claro que $\frac{b}{a} \geqslant X \geqslant \frac{a}{b}$ con una probabilidad de 1. Deje $x$ ser de ese intervalo. Entonces $$ \begin{eqnarray} F(x) &=& \mathbb{P}\left( X \leqslant x\right) = \mathbb{P}\left( U_1 \leqslant U_2 x \right) = \mathbb{E}\left( \min\left(1, \max\left(0, \frac{x U_2 - a}{b-a} \right) \right) \right) \\ & = & \int_0^1 \min\left(1, \max\left(0, \frac{x (a+(b-a) u) - a}{b-a} \right) \right) \mathrm{d} u \\ &=& \int_0^1 \min\left(1, \max\left(0, u \cdot x + \frac{a}{b-a} (x-1) \right) \right) \mathrm{d} u \\ \end{eqnarray} $$ Considere ahora dos casos, $\frac{b}{a} \geqslant x \geqslant 1$$1 > x \geqslant \frac{a}{b}$.

• $\frac{b}{a} \geqslant x \geqslant 1$, lo que implica $u \cdot x + \frac{a}{b-a} (x-1) > 0$:

$$ \begin{eqnarray} F(x) &=& \int_0^1 \min\left(1, \max\left(0, u \cdot x + \frac{a}{b-a} (x-1) \right) \right) \mathrm{d} u \\ &=& \int_0^1 \min\left(1, u \cdot x + \frac{a}{b-a} (x-1) \right) \mathrm{d} u \\ &=& \int_0^{u^\ast} \left( u \cdot x + \frac{a}{b-a} (x-1) \right) \mathrm{d} u + \int_{u^\ast}^1 \mathrm{d} u \\ &=& \left(\frac{u^\ast}{2} x - \frac{b - a x}{ x(b-a)}\right) u^\ast + 1 \\ &=& 1 - \frac{1}{2 x} \left( \frac{b-a x}{b-a} \right)^2 \end{eqnarray} $$ donde $u^\ast$ resuelve $u x + \frac{a}{b-a} (x-1) = 1 $, es decir,$u^\ast = \frac{b-a x}{x (b-a)}$.

• $1 > x \geqslant \frac{a}{b}$ implica $u \cdot x + \frac{a}{b-a} (x-1) < 1$: $$ \begin{eqnarray} F(x) &=& \int_0^1 \min\left(1, \max\left(0, u \cdot x + \frac{a}{b-a} (x-1) \right) \right) \mathrm{d} u \\ &=& \int_0^1 \max\left(0, u \cdot x + \frac{a}{b-a} (x-1) \right) \mathrm{d} u \\ &=& \int_{u_\ast}^1 \left(u \cdot x + \frac{a}{b-a} (x-1) \right) \mathrm{d} u \\ &=& x \left( \frac{1}{2}- \frac{u_\ast^2}{2} \right) + \frac{a}{b-a} (x-1) \left( 1- u_\ast \right) \\ &=& \frac{ (a- b x)^2}{2 (b-a)^2 x} \end{eqnarray} $$ donde $u_\ast$ resuelve $ u \cdot x + \frac{a}{b-a} (x-1) = 0$, es decir $u_\ast = \frac{a}{b} \frac{1-x}{x}$.

Dado $F(x)$ calculado anteriormente, la densidad de probabilidad de la siguiente manera por la diferenciación.