Encontrar para $x$

Question

PS

Encontrar x

Mi hermana menor en quinto grado tuvo esta pregunta en una prueba. Pero yo, un estudiante universitario, todavía no puedo resolver esto. Qué pena: <

Answer 1

Uno puede agrupar a los $100$ sumandos en el lado derecho por el final de dígitos de los denominadores. Por ejemplo, tomando los números que terminan en 2:

$$\frac{1}{2\times 12}+\frac{1}{12 \times 22}+ ... +\frac{1}{92 \times 102}=\\ = \frac{1}{10}\left(\frac{1}{2} -\frac{1}{12}\right) +\frac{1}{10}\left(\frac{1}{12} -\frac{1}{22}\right) +\cdots +\frac{1}{10}\left(\frac{1}{92}- \frac{1}{ 102}\right) =\\ =\frac{1}{10}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{102}\right)=\\ =10\left(\frac{1}{2 \times 102}\right)\\ $$

Por lo tanto, $x=10$

Esto se puede formalizar, por supuesto. Pero no creo que esto (incluso sin la formalización) es apropiado para un 10 años de edad...

Answer 2

PS

$$ \begin{array}{l} \frac{a}{k}+\frac{b}{k+10}=\frac{k(a+b)+10a}{k(k+10)} \end {array} $$

PS

PS

PS

---

$$ \begin{array}{l} \sum_{k=1}^{100} \frac{1}{k(k+10)}&=\frac{1}{10}\sum_{k=1}^{100} \frac{1}{k}-\cfrac{1}{k+10}\\ &=\frac{1}{10}\left(\sum_{k=1}^{100} \frac{1}{k}-\sum_{k=1}^{100}\cfrac{1}{k+10}\right)\\ &=\frac{1}{10}\left(\sum_{k=1}^{100} \frac{1}{k}-\sum_{k=11}^{110}\cfrac{1}{k}\right)\\ &=\frac{1}{10}\left(\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{k}-\sum_{k=101}^{110}\cfrac{1}{k}\right)\\ &=\frac{1}{10}\left(\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{k}-\sum_{k=1}^{10}\cfrac{1}{k+100}\right)\\ &=\frac{1}{10}\left(\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{k}-\cfrac{1}{k+100}\right)\\ &=\frac{1}{10}\left(\sum_{k=1}^{10} \frac{100}{k(k+100)}\right)\\ \sum_{k=1}^{100} \frac{1}{k(k+10)}&=10\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{k(k+100)} \end {array} $$

Answer 3

Puramente computacional:

$$\sum_1^{10} \frac{1}{k(k+100)} = \frac{59810902182173}{2110393648079145}, $ $ y$$\sum_1^{100} \frac{1}{k(k+10)} = \frac{119621804364346}{422078729615829}. $ $

El segundo numerador es exactamente el doble del primero, y el segundo denominador es exactamente un quinto del primero, lo que lleva al resultado sorprendente (para mí) de que$$x=10.$ $