Notación de doble línea (tres y cuatro vértices gluones). ¿Cómo es esto una simplificación?

Question

Esto está estrechamente relacionado con mi post anterior Doble línea de notación - gluon propagador

Estoy tratando de comprender el doble de la línea de vértices para el gluon en el caso de una $U(N)$ grupo gauge. Normalmente, el vértice factores están dados por: $$ \mathrm{Tres} \ \para \ g f^{a}_{\ bc} \left[ h^{\mu \nu} ( k - p )^{\rho} + h^{\nu \rho} ( p - q )^{\nu} + h^{\rho \mu} ( q - k )^{\nu} \right] \\ \mathrm{Cuatro}\ \ \a \ - i g^{2} \left[ f^{a}_{\ ser}\ f^{c}_{\ de} \left( h^{\mu \rho} h^{\nu \sigma} - h^{\mu \sigma} h^{\nu \rho} \right) + f^{a}_{\ ce}\ f^{b}_{\ de} \left( h^{\mu \nu} h^{\rho \sigma} - h^{\mu \sigma} h^{\nu \rho} \right) + f^{a}_{\ de}\ f^{b}_{\ ce} \left( h^{\mu \nu} h^{\rho \sigma} - h^{\mu \rho} h^{\nu \sigma} \right) \right] $$

Desde el grupo gauge es $U(N)$, si usted escribe el grupo de índices en la forma $a = (\bar{j}, k)$, entonces la estructura de las constantes se va a dar por $$ f^{( \bar{m}, n )}_{ ( \bar{j},k )(\bar{p},q) } = i \big( \delta_{jq} \delta_{kn} \delta_{pm} - \delta_{jm} \delta_{pk} \delta_{qn} \big) $$ Esto inspira el uso de la doble línea de la notación.

Mi manera de entender, sin embargo, los tres vértices del factor de ahora tiene DOS piezas con $\delta\delta\delta$'s - lo que significa que debo tener en cuenta dos doble línea de diagramas para representar sólo un ordinario tres gluon diagrama de feynman?

Y además de los factores $ff$ de rendimiento de seis combinaciones de $\delta \delta \delta \delta$'s - lo cual significaría necesito 6 doble línea de diagramas para representar sólo un ordinario cuatro gluon diagrama de feynman?

Creo que mi entendimiento de que esto es correcto (por favor, que me llame a cabo en esta si que no).

Mi pregunta es; ¿cómo es esto una simplificación en todos? Ahora, en lugar de la original de mi dos diagramas, tengo 8 que estoy mirando? A mí me parece que el doble de la línea de notación es hacer el problema más complicado en lugar de ayudar a simplificar? ¿Cuál es el punto de esto?

Answer 1

En primer lugar, es probablemente útil señalar que la doble línea de notación no sólo afectan a los propagadores, pero también los vértices. En el convencional reglas de Feynman, estos vértices que representan el acoplamiento del medidor de campo con el fermión campos, contienen los generadores del grupo gauge. Lo de la doble línea de la notación efectivamente lo hace, es para quitar estos generadores de los vértices y los unen a los extremos de los propagadores. El resultado vértice de la regla es ahora mucho más simple. Entonces también nos permite utilizar las propiedades de la $f_{abc}$'s y los generadores para simplificar la expresión del propagador, mediante la sustitución de la contracción de la $f_{abc}$'s y los generadores por una combinación de la $\delta$'s. Aunque el propagador ahora contiene un factor que se compone de una suma de diferentes combinaciones de las $\delta$'s, esto no significa que usted necesita otro diagrama. Todo sería parte del cálculo de un diagrama. Por otra parte, es mucho más sencillo trabajar con la $\delta$'s de trabajo con el $f_{abc}$'s y los generadores. Efectivamente, el grupo de factores que se han calculado en la evaluación del diagrama tiene ahora que ya se ha hecho y es sólo una cuestión de la aplicación de las contracciones a través de la $\delta$'s.

Answer 2

Estás en lo correcto: ahora hay dos y seis diferentes diagramas para los tres y cuatro puntos de función, donde antes sólo había uno para cada instancia. Esto es debido a que ahora no cíclico permutaciones de los vértices de rendimiento de los diferentes diagramas.

Sin embargo, esto no es realmente una complicación. Vamos a limitarnos a hablar sobre el árbol de nivel n-gluon, la dispersión y a la elaboración de planos de diagramas, es decir, los diagramas para los que no las líneas de la cruz. Cada línea externa contiene un factor de $T^{a_i}$ donde $T^a$ son los generadores de la Mentira álgebra de $U(n)$. Ya que cada línea codifica una delta de Kronecker contracción, como vamos a andar el diagrama vemos que es proporcional a $Tr(T^{a_1}\dots T^{a_n})$. Por ejemplo:

Por lo tanto, podemos escribir la cuatro-gluon árbol-nivel de dispersión de la amplitud como

$$A_4=A[1234] Tr(T^{a_1}T^{a_2}T^{a_3}T^{a_4})+\text{non-cyclic permutations of {1,2,3,4}},$$

donde $A[1234]$ es la amplitud de los diagramas de Feynman con esta ordenación de las líneas externas, después de haber despojado de todas las $U(n)$ álgebra. Estos son a menudo llamados de color-ordenó amplitudes. Nota los cuatro-gluon vértice necesarios para el cálculo de color-ordenó amplitudes simplemente es $V^{\mu_1 \mu_2\mu_3\mu_4}=\eta^{\mu_1\mu_3}\eta^{\mu_2\mu_4}$, y sólo es necesario calcular uno de estos $A[ijkl]$ para obtener todos los demás de permutaciones.

Más complicado amplitudes tendrá una estructura similar, aunque usted puede ser que necesite más trazas, dependiendo de cómo lo general, los diagramas que usted quiera considerar.

En conclusión, a pesar de que usted está en lo correcto que hay más diagramas, por lo general se debe a uno de ellos para llegar a la respuesta completa, y el grupo de álgebra se toma el cuidado de.

Referencias:

• Srednicki, ch. 80;

• Elvang y Huang, ch. 2.5.