La dimensión del centro del álgebra grupal es igual al número de representaciones irreductibles, sin usar la teoría de los caracteres.

Question

En una teoría de la representación supuesto, nos ha demostrado recientemente que el número de representaciones irreducibles de un grupo finito $G$ sobre los números complejos es igual al número de clases conjugacy de $G$. La prueba vimos los caracteres utilizados, como es el estándar. Pero yo estaba interesado en saber si existe una prueba de que no utilice caracteres, y se encontró que (aparentemente) $\dim_k(Z(k[G]))$ es igual a el número de clases conjugacy de $G$ y el número de representaciones irreducibles sobre el campo $k$.

He comprobado que es igual al número de clases conjugacy, pero estoy luchando en proporcionar una prueba de que es igual al número de representaciones irreducibles que no se basa en el resultado original. Este es mi progreso hasta ahora:

Primero descomponemos $k[G]$ en la suma directa de simple unital anillos así: Vamos a $\mathcal{L}$ el conjunto de clases de isomorfismo de simple los ideales de la izquierda y para cada una de las $l\in\mathcal{L}$ definir $R_l=\sum_{L\in l} L$. A continuación, $R_l$ es unital anillo y $R\cong\oplus_{l\in\mathcal{L}}R_l$. Yo creo que la identidad de cada una de las $R_l$ dar una base para $Z(k[G])$. Es obvio que ellos son linealmente independientes, y están en el centro, así que el problema es cómo demostrar que en realidad se extienden por el centro.

Si asumimos que ya sabemos el número de clases conjugacy igual al número de representaciones irreducibles, esto se convierte en una simple cuestión de contar dimensiones, así que estoy bastante seguro de que esta es una base. Sin embargo no tengo ni idea de cómo probar el resultado sin el uso de esta, y cualquier consejo sería enormemente apreciada.

Answer 1

No es cierto arbitrarias de los campos que la dimensión de $Z(k [G])$ es el número de isoclasses de representaciones irreducibles; la característica cero suposición es crucial, y es necesario asumir $k$ algebraicamente cerrados.

Por ejemplo, supongamos $p$ ser un número primo, vamos a $G$ ser un grupo cíclico de orden $p$ y deje $k$ ser un campo de característica $p$. Evidentemente el grupo de álgebra es abelian, por lo que su centro tiene dimensión $p$. Pero sólo hay uno isoclass de irreductible $k$-lineal de la representación: la representación trivial.

Esto es fácil de ver: suponiendo que $\phi:G \rightarrow \mathrm{GL}(V)$ es una representación irreducible y $g$ es un generador de $G$, el polinomio mínimo de a $\phi(g)$ divide $X^p-1=(X-1)^p$, y es por lo tanto un poder de $X-1$. Irreductibilidad ahora implica que el polinomio mínimo es sólo $X-1$.