¿Cuál es la forma paramétrica de la "curva de misterio"?

Question

La curva de misterio encontrada aquí se ve así: Fue dada por la fórmula compleja:$$e^{it} – \frac{e^{6it}}{2} + i \frac{e^{-14it}}{3} $ $

¿Es la forma paramétrica más simple o la forma polar sería más simple (dejando la definición de más simple abierta en términos de: para ser una forma más fácil de recordar o cualquier interpretación abierta que haría una fórmula más agradable)

Answer 1

De hecho esta es una hermosa curva, pero no hay nada misterioso acerca de él.

Por todos los medios dejar en el paramétrica de forma $$\gamma:\quad t\mapsto z(t):=e^{it}-{e^{6it}\over2}+ i{e^{-14it}\over3}\qquad(0\leq t\leq 2\pi)\ ,$$ o por escrito, en la forma $t\mapsto\bigl(x(t),y(t)\bigr)$ separando las partes real e imaginaria.

Lo que sorprende a primera vista es el de cinco veces la simetría de $\gamma$, dado que el número de $5$ no aparecen en ninguna parte en su definición. Acerca de esto se puede decir lo siguiente: Cualquier polinomio trigonométricas $$f(t):=\sum_{k=-N}^N c_k\>e^{ikt},\qquad c_k\in{\mathbb C},$$ representa una suave curva cerrada en el plano complejo. Cuando el lado derecho contiene los términos $k=5n+1$, $\>n\in{\mathbb Z}$, a continuación, la función de $f$ tiene la propiedad $$f\left(t+{2\pi\over5}\right)\equiv e^{2\pi i/5}\>f(t)\ ,\tag{1}$$ porque $$e^{i(5n+1)(t+2\pi/5)}\equiv e^{2\pi i/5}\>e^{i(5n+1)t}\ .$$ El funcional de la ecuación de $(1)$ a la vez da lugar a las cinco de la simetría de $\gamma$ observamos.