¿Cómo demostrar que la bola unitaria de la norma dual es también un politopo?

Question

Suponiendo una bola unitaria para la norma p que es un politopo convexo. ¿Cómo se puede demostrar que la bola unitaria de la norma del dual es un politopo convexo?

Answer 1

Imagina el politopo $P$ (por ejemplo un cubo o hexaedro..), supongo que debe ser simétrico al origo $0$ del espacio vectorial ( $x\in P\Rightarrow -x\in P$ ). $P$ va a ser el bola de la unidad para que se defina la norma.

Para cada vector $v\ne 0$ (imaginado como un segmento dirigido desde $0$ ), defina $||v||_P=1$ si $v$ está en el límite de $P$ y en general $||v||_P:=\lambda$ para ese único $\lambda>0$ que satisface $\frac1\lambda v$ está en el límite de $P$ .

Intenta averiguar las bolas de la unidad de las normas estándar en $\Bbb R^2$ : $$||(a,b)||_\max:=\max(|a|,|b|)\quad ||(a,b)||_1:=|a|+|b|\quad ||(a,b)||_2:=\sqrt{a^2+b^2}$$

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En un espacio normado general, el desigualdad del triángulo (junto con la multiplicación escalar) da como resultado para $u,v$ vectores en la bola unitaria ( $||u||,\, ||v||\le 1$ ) y $\lambda\in [0,1]$ : $$||\lambda u+(1-\lambda)v|| \le \lambda||u||+(1-\lambda)||v||\le \lambda+1-\lambda=1$$ Es decir, la bola unitaria es siempre convexo en particular en el espacio dual.

También se deduce que si un politopo $P$ es no convexo entonces la construcción anterior de $||\_||_P$ no satisfará la inuqalidad del triángulo (por lo tanto, no será una norma).

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El espacio dual de $\Bbb R^n$ también es $n$ dimensional, por lo que es isomorfo a $\Bbb R^n$ normalmente se maneja con vectores columna en el espacio original y vectores fila en el espacio dual, ya que para cada lineal $f:\Bbb R^n\to \Bbb R$ como cualquier transformación lineal, $f$ se puede identificar por su matriz, que ahora es el vector de filas $$u:=\pmatrix{f\pmatrix{1\\0\\ 0 \\ \vdots}, & f\pmatrix{0\\1\\ 0 \\ \vdots}, &\dots}$$ Debe comprobar, utilizando la linealidad, que para cada vector (columna) $v\in \Bbb R^n$ tenemos $$f(v)=u\cdot v$$ donde $\cdot $ es el producto matricial, que es básicamente el original producto escalar de $u$ y $v$ vectores. Ahora, la norma dual de $||\_||_P$ : $$||f|| =\sup_{||v||_P\le 1}|f(v)|= \sup_{v\in P}|u\cdot v|$$ Ahora bien, si $P$ es un politopo, es decir, es una intersección de semiespacios $H_1,..,H_k$ : $P=H_1\cap H_2\cap\dots H_k$ , entonces esto se reduce a un $\max$ en las caras finitas de $P$ .

Intenta ilustrar el caso con la búsqueda de la norma dual de lo anterior $||\_||_1$ en $\Bbb R^2$ .