Hartshorne, la Geometría Algebraica, Teorema III.5.2, lee (en parte)
Teorema 5.2
Deje $X$ ser un esquema proyectivo sobre un Noetherian anillo, y deje $\mathcal{O}_X(1)$ ser un muy amplio invertible gavilla en $X$$\operatorname{Spec} A$. Deje $\mathscr{F}$ ser coherente gavilla en $X$. Entonces:
(1) para cada $i \geq 0$, $H^u(X, \mathscr{F})$ es un finitely generado por $A$-módulo;
[...]
La prueba de los beneficios de la reducción para el caso de $X = \mathbb{P}^r_A$ y, a continuación, comprobar las cosas por $\mathcal{O}_X(q)$, lo cual está bien. A continuación, necesitamos establecer las cosas arbitrarias coherente de las poleas. La prueba de que aquí se lee:
[...]
En general, dada una coherente gavilla $\mathscr{F}$$X$, podemos escribir $\mathscr{F}$ como un cociente de una gavilla $\mathscr{E}$, que es finita suma directa de poleas $\mathcal{O}(q_i)$ por varios enteros $q_i$. Deje $\mathscr{R}$ ser el kernel, $$0 \to \mathscr{R} \to \mathscr{E} \to \mathscr{F} \to 0,$$ A continuación, $\mathscr{R}$ es también coherente. Tenemos una secuencia exacta de $A$-módulos $$\cdots \to H^i(X, \mathscr{E}) \to H^i(X, \mathscr{F}) \to H^{i+1}(X, \mathscr{R}) \to \cdots$$ Ahora el módulo de la izquierda es finitely generado debido a la $\mathscr{E}$ es una suma de $\mathcal{O}(q_i)$, como se comentó anteriormente. El módulo de la derecha es finitely generados por la hipótesis de inducción.
[...]
Esta última frase no la entiendo. No explícitamente lo que la hipótesis inductiva es, pero supongo que es ese $H^j(X, \mathscr{F})$ es un finitely generado por $A$-módulo para $j > i$. En este caso, lo que sabemos es que tenemos una secuencia exacta $$\cdots \to H^i(X, \mathscr{F}) \to H^{i+1}(X, \mathscr{R}) \to H^{i+1}(X, \mathscr{E}) \to H^{i+1}(X, \mathscr{F}) \to \cdots$$ donde los dos de la derecha son los términos de finitely generado como $A$-módulos. Ya que parece que no sabe nada acerca de $H^i(X, \mathscr{F})$ en el lado izquierdo, sin embargo, no veo cómo esto nos ayuda a establecer nada acerca de $H^{i+1}(X, \mathscr{R})$.
¿En qué he faltado?
