Si sabes un poco de relatividad especial, probablemente hayas oído hablar del paradoja de los gemelos . Me gustaría saber: qué ocurre si tenemos en cuenta la aceleración en la paradoja. Normalmente consideramos un cambio de velocidad instantáneo para el gemelo en movimiento (antes se movía a, digamos, $\frac{c}{2}$ Cuando regresa, de repente se mueve a $-\frac{c}{2}$ ...)
Mi trabajo sobre el problema:
Dejemos que Alicia (la primera gemela) siga en un SI (coordenadas $t,x,y,z$ ), y Bob (¡son heterocigotos, obviamente!) se mueven. El sistema de coordenadas KS' de Bob ( $t',x',y',z'$ ) es no inercial y satisface: $$\left\{\begin{array}{l}t=t'\\x=x'+\sin(t')\\y=y'\\z=z'\end{array}\right.$$ para que Bob (situado en el origen de KS') se aleje de Alice para $0\le t\le\frac{\pi}{2}$ y vuelve para $\frac{\pi}{2}\le t\le\pi$ . Tenemos: $$\begin{array}{l}dt = dt'\\dx = \cos(t')dt'+dx'\\dy=dy'\\dz=dz'\end{array}$$ y así: $$\begin{array}{ll}ds^2 & = dt^2-dx^2-dy^2-dz^2 =\\ & =(1-\cos^2(t'))dt'^2-2\cos(t')dt'dx'-dx'^2-dy'^2-dz'^2\end{array}$$ Fijando un reloj a una velocidad constante $x',y',z'$ en KS' y mirando el tiempo apropiado, obtenemos: $$d\tau = \sqrt{1-\cos^2(t')}dt' = \sqrt{1-\cos^2(t)}dt = \sin(t)dt$$ (donde utilizamos $t=t'$ y $dt=dt'$ ). La integración de $t=0$ a $t=\pi$ (el tiempo que Bob tarda en ir y volver) obtenemos la hora que un reloj en KS' marcará cuando Bob esté de vuelta en casa (donde el reloj marcaba $0$ cuando se fue): $$\int_0^\pi\sin(t)dt = 2$$ que parece extraño ... (Nota: esperaba que esto diera $\pi$ para que no hubiera habido ninguna paradoja). ¿Puede alguien detectar los posibles errores que he cometido?
Nota: He seguido el mismo procedimiento que encontré en estas notas de clase en las páginas 18-19.
