Si$p \equiv 3 \mod 4$ y$r$ raíz primitiva, entonces$\mathrm{ord}_p(-r) = (p-1)/2$

Question

He estado mirando un montón de teoría de los números problemas últimamente y necesito ayuda con un par de. Uno de ellos es el siguiente:

Deje $p$ ser un número primo con $p \equiv 3 \mod 4$ y deje $r$ ser una raíz primitiva módulo $p$. Demostrar que $\mathrm{ord}_p(-r) = (p-1)/2$.

Primero tomamos nota de que $p=4k+3$$(p-1)/2=2k+1$. Mi idea hasta ahora ha sido la utilización de ese $r$ es una raíz primitiva, por lo que $$r^{p-1}\equiv 1 \mod p$$ or $$r^{4k+2} = r^{2(2k+1)} = \left( r^{2k+1}\right)^{2} \equiv 1 \mod p.$$ Hence $r^{2k+1}\equiv \pm 1 \mod p$, but since $r$ is a primitive root we must have $r^{2k+1} \equiv -1 \mod p$. Hence $-(r)^{2k+1} \equiv 1$, or, since $2k+1$ is odd, $$(-r)^{2k+1} \equiv 1 \mod{p}.$$ Es esta la manera correcta de ir sobre él?

Answer 1

El argumento es bueno, pero no se ha demostrado que$-r$ tenga orden$\frac{p-1}{2}$. Lo que se ha mostrado es que el orden de$-r$ divide $\frac{p-1}{2}$.

Pero las ideas que usaste te llevan rápidamente al final. Si$-r$ tiene orden$q\lt 2k+1$, donde$p=4k+3$, entonces como$q$ es impar tenemos$r^q\equiv -1\pmod{p}$, y por lo tanto$r^{2q}\equiv 1\pmod{p}$. Dado que$2q\lt p-1$, esto contradice el hecho de que$r$ es una raíz primitiva de$p$.