Relación entre la función de autocorrelación y el periodograma en el análisis de series temporales

Question

Me preguntaba si alguien podría darme alguna idea sobre la relación entre la ACF y el periodograma de una serie temporal.

Tengo un montón de series temporales y sus ACF y periodogramas son típicamente muy parecidos a los ejemplos de abajo.

Para mi análisis, me interesa sobre todo la periodicidad en los lag 8 y 16 (por razones teóricas)

Las frecuencias "B" y "HB" corresponden al desfase 16 y 8, respectivamente. La serie temporal se refiere en realidad a los intervalos de respuesta en la interpretación musical de una pieza que consta únicamente de corcheas (16 de ellas en un compás de 4:4, por lo que "B" corresponde a compás y "HB" a medio compás).

Lo que en realidad quería preguntar: en mis periodogramas, obtengo sistemáticamente picos muy grandes en la frecuencia 0,25 (que corresponde al lag 4). Sin embargo, el pico ACF en el lag 4 es mucho menor que los del lag 8 o 16. Me preguntaba cómo interpretar este resultado. ¿Se puede explicar mucha varianza de la serie temporal en esta frecuencia aunque la autocorrelación del retardo 4 sea bastante baja?

Espero haber sido suficientemente claro en mi pregunta. Si no es así, no dude en preguntarme.

Answer 1

La relación entre la autocovarianza (o autocorrelación) y la densidad espectral (de la que el periodograma es un estimador) viene dada por la transformada de Fourier. Ambas forman un par denominado transformada de Fourier, lo que significa que ambas son representaciones de la misma cosa en el dominio del tiempo (o del espacio) frente al dominio de la frecuencia. En concreto, si las series temporales $\{X_t\}$ tiene función de autovarianza $\gamma(\tau)$ con desfase temporal $\tau$ entonces la densidad espectral se define por \begin{equation} f(\nu)=\sum\limits_{\tau=-\infty}^{\infty} \gamma(\tau)e^{-2i\pi\nu\tau}. \end{equation} En otras palabras, la densidad espectral divide la autocovarianza en energía por hercios de una señal. Por ejemplo, si tenemos una señal determinista con periodo $t=12$ entonces la serie rezagada consigo misma (ACF) en el rezago 12 estará perfectamente correlacionada (autocorrelación=1). Por consiguiente, toda la potencia de la densidad espectral se concentrará en la frecuencia $1/t$ .