Distribuciones gamma y lognormal

Question

Tengo una distribución observada experimentalmente que se parece mucho a una distribución gamma o lognormal. He leído que la distribución lognormal es la distribución de probabilidad de máxima entropía para una variante aleatoria $X$ para la cual la media y la varianza de $\ln(X)$ son fijos. ¿Tiene la distribución gamma propiedades similares?

Answer 1

En cuanto a las diferencias cualitativas, la lognormal y la gamma son, como dices, bastante similares.

De hecho, en la práctica se utilizan a menudo para modelar los mismos fenómenos (algunas personas utilizarán una gamma y otras una lognormal). Ambos son, por ejemplo, modelos de coeficiente de variación constante (el CV de la lognormal es $\sqrt{e^{\sigma^2} -1}$ para la gamma es $1/\sqrt \alpha$ ).

[¿Cómo puede ser constante si depende de un parámetro? Se aplica cuando se modela la escala (ubicación para la escala logarítmica); para la lognormal, $\mu$ actúa como un parámetro de escala, mientras que para la gamma, la escala es el parámetro que no es el parámetro de forma (o su recíproco si se utiliza la parametrización de la forma). Llamaré al parámetro de escala para la distribución gamma $\beta$ . Los GLM gamma modelan la media ( $\mu=\alpha\beta$ ) mientras sostiene $\alpha$ constante; en ese caso $\mu$ es también un parámetro de escala. Un modelo con variaciones de $\mu$ y constante $\alpha$ ou $\sigma$ respectivamente tendrá CV constante].

Puede que te resulte instructivo mirar la densidad de sus Registros que a menudo muestra una diferencia muy clara.

El logaritmo de una variable aleatoria logarítmica es ... normal. Es simétrica.

El logaritmo de una variable aleatoria gamma está torcido a la izquierda. Dependiendo del valor del parámetro de forma, puede ser bastante sesgada o casi simétrica.

He aquí un ejemplo, en el que tanto la lognormal como la gamma tienen media 1 y varianza 1/4. El gráfico superior muestra las densidades (gamma en verde, lognormal en azul), y el inferior muestra las densidades de los registros:

(También es útil trazar el logaritmo de la densidad de los troncos. Es decir, tomar una escala logarítmica en el eje Y de arriba)

Esta diferencia implica que la gamma tiene más cola a la izquierda y menos cola a la derecha; la cola de la extrema derecha de la lognormal es más pesada y su cola izquierda más ligera. Y, de hecho, si se observa la asimetría, de la lognormal y la gamma, para un coeficiente de variación dado, la lognormal es más asimétrica a la derecha ( $\text{CV}^3+3\text{CV}$ ) que la gamma ( $2\text{CV}$ ).

Answer 2

Sí, la distribución gamma es la distribución de máxima entropía para la cual la media $E(X)$ y media-log $E(\log X)$ son fijos. Como todas las distribuciones de la familia exponencial, es la única distribución de máxima entropía para un estadístico suficiente esperado fijo.

Para responder a tu pregunta sobre los procesos físicos que generan estas distribuciones: La distribución lognormal surge cuando el logaritmo de X se distribuye normalmente, por ejemplo, si X es el producto de muchos factores pequeños. Si X se distribuye de forma gamma, es la suma de muchas variantes distribuidas exponencialmente. Por ejemplo, el tiempo de espera de muchos eventos de un proceso de Poisson.