Probar$\| x + y \| = \| x \| + \| y \|$ implica$\|ax + by\| = \|a x \| + \|by\|$ para cualquier$a,b \geq 0$

Question

Considere la posibilidad de $ (R^p, \| \cdot \|)$ una norma espacio y deje $x$ $y$ ser vectores tales que el $\| x + y \| = \| x \| + \| y \|$. Demostrar que para cualquier $\alpha$, $\beta$ $\geq 0$, $\|\alpha x + \beta y\| = \|\alpha x \| + \|\beta y\|$.

Esto es con respecto a las normas generales, es decir,

$$ ||\bar{x}|| \geq 0 $$ $$ ||\alpha\bar{x}|| = |\alpha | ||\bar{x}|| $$ $$ ||\bar{x} + \bar{y} || \leq ||\bar x|| + ||\bar y|| $$ $$ ||\bar{x}||= 0 \Leftrightarrow \bar x = 0 $$

Con $|| \cdot ||_2$ la prueba de esto es simple, implica la colinealidad de los vectores. Por norma general, creo que implica un poco más débiles de la noción de "colinealidad", en la mano-ondulados sentido. Esta es una tarea de la pregunta y la verdad es que no quiero la respuesta---que no va a ser de mucha ayuda.

Mi valoración del problema a resolver haciendo un uso estricto de las cuatro propiedades de una norma que he enumerado anteriormente, pero me faltan algunos insight clave que me dice que mi caja de herramientas matemáticas que falta. Agradecería la solución de un problema de orientación que finalmente me llevan a entender esto.

Answer 1

Primero, puede asumir que$a > 0$ y$b > 0$. Entonces, sin pérdida de generalidad ese$a \geq b$. Establecer$\lambda := b/a \in (0,1]$. Basta con mostrar que$||x+ \lambda y||= ||x|| + ||\lambda y||$. Por la desigualdad del triángulo, se mantiene "$\leq$". Para la desigualdad restante, escriba $$ || x || + || \ lambda y || = || x + y || - (1- \ lambda) || y || = || x + y || - || (1- \ lambda) y || \ leq || x + y - (1- \ lambda) y || \ ,, $$ usando el supuesto en el primer signo igual.