¿Cuál es el valor de $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}H_n(x)dx$ donde $H_n(x)$ $n^{\small\mbox{th}}$ Polinomio de Hermite (físico de la convención)?
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Para probabilists' polinomios de Hermite: Los polinomios de Hermite son los polinomios ortogonales correspondientes a la función peso $w(x) = e^{-x^2/2}$. Esto significa que $\int_{-\infty}^{\infty} H_n(x)H_m(x)e^{-x^2/2} \, dx = 0$ siempre $n \not= m$ (o, equivalentemente, $\int_{-\infty}^{\infty} H_n(x) P(x) e^{-x^2/2} \, dx = 0$ para cualquier polinomio $P$ de grado menor que $n$). Desde $H_0(x) = 1$, se deduce que $$\int_{-\infty}^{\infty} H_n(x)e^{-x^2/2} \, dx = \int_{-\infty}^{\infty} H_n(x)H_0(x)e^{-x^2/2} \, dx = 0$$ for all $n > 0$. The only time this integral is non-zero is when $n = 0$, in which case $$\int_{-\infty}^{\infty} H_0(x)e^{-x^2/2} \, dx = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2} \, dx = \sqrt{2\pi}.$$
Observe que, si $n$ es impar , entonces el integrando es una función impar que implica que la integral es igual a $0$. Si $n$ es par, entonces la integral es igual a
$$ {2}^{2\,n+\frac{5}{2}}\Gamma \left( n+ \frac{3}{2} \right),\quad n=0,1,2,\dots. $$
Nota este, en la fórmula anterior, $n=0$ corresponde al caso $H_{2}(x)$, $n=1$ correspons para el caso de $H_{4}(x)$ y así sucesivamente.
Uno puede tener lugar, la fórmula que incluir el caso de $n=0$
$$ {4}^{n}\sqrt {2}\,\Gamma \left( n+\frac{1}{2} \right), \quad n=0,1,2,\dots. $$
De nuevo, en la fórmula anterior, $n=0$ corresponde al caso $H_{0}(x)$, $n=1$ corresponde al caso de $H_{2}(x)$ y así sucesivamente.
